Porcentagem - resumo (com exercícios)

Porcentagem

Porcentagem é uma fração de denominador centesimal, ou seja, é uma fração de denominador 100. Representamos porcentagem pelo símbolo % e lê-se: “por cento”.

Deste modo, a fração  é uma porcentagem que podemos representar por 20%.

Exemplo: 

Exemplo 2: Maria juntou 45% do seu salário  que é de R$ 900,00. Quanto de dinheiro Maria juntou?

45% de 900 = 45/100 * 900 = 405. Assim, Maria juntou R$ 405,00.

Exemplo 3: O preço de uma  casa sofreu um  aumento de 20%, passando a ser vendida por 35 000 reais. Qual era o preço desta casa antes deste aumento?

Porcentagem         Preço

120                    35 000

100                      x

Logo, o preço anterior era 29 166,67 

O cálculo de percentagens compostas ou concatenadas

Estamos falando de situações como a seguinte:

Se a inflação de novembro foi 3% e a de dezembro foi 5%, qual a inflação dos dois meses?

A enorme maioria das pessoas acha que esse tipo de problema resolve-se por soma. Isso é totalmente errado. Problemas deste tipo são resolvidos por multiplicação. Vejamos:

Se no início de novembro, um produto custava p reais, no início de dezembro ele custará p reais mais 3% de p, ou seja, custará p' = p + 0,03 p = 1,03 p.

O novo preço p' terá subido, no início de janeiro, para:

p''= 1,05 p' = 1,05 x 1,03 p = 1,0815 p .

Conseqüentemente, a inflação total foi de 8,15 %.

É simplesmente fundamental que V. entenda isso. Para tal, faça os seguintes problemas, de ordem crescente de dificuldade:

EXERCÍCIO 1

Maria e José ficaram janeiro e fevereiro na praia. Maria engordou 10% em jan e 20% em fev, já José engordou 20% em jan e 10% em fev. Quem engordou mais?

RESPOSTA: sabendo que podemos fazer o produto de dois números em qualquer ordem, sem alterar o resultado, é desnecessário fazer qualquer conta para ver que os dois engordaram o mesmo percentual .

EXERCÍCIO 2

Se nossa Maria tivesse engordado 10% em jan, mas emagrecido 10% em fev, qual o efeito total?

RESPOSTA: pelo que já vimos, espero que V. tenha saído da vala comum da imensa maioria dos vestibulandos, os quais acham que o efeito total é zero ( pois 10 - 10 = 0 ). Claro que não é, pois 1,10 x 0,90 não é 1, mas 0,99 ( ie, Maria emagreceu 1%)

EXERCICIO 3

Se uma caderneta de poupança rende 0,5% ao mês, uma aplicação de 300 reais terá que saldo após 8 meses?

RESPOSTA: V. já sabe que o juro pago não é 8 x 0,5 = 4 % e que então o saldo não é 1,04 x 300 , mas sim :

1,0058 x 300 = 1,040707 x 300 = 312,21

EXERCÍCIO 4

(Unicamp-SP) Como se sabe, os icebergs são enormes blocos de gelo que se desprendem das geleiras polares e flutuam pelos oceanos. Suponha que a parte submersa de um iceberg corresponda a 8/9 do seu volume total e que o volume da parte não submersa é de 135 000 m³.

a) Calcule o volume total do iceberg.
b) Calcule o volume de gelo puro do iceberg supondo que 2% de seu volume total é constituído de “impurezas”, como matéria orgânica, ar e minerais.

Resolução V = volume total do iceberg a)      b) Vimpurezas = 2% de V = 0,02 · 1 215 000 = 24 300 m3 Vgelo puro = V – Vimpurezas = 1 215 000 – 24 300 = 1 190 700 m3

Aumentos e diminuições percentuais

A rigor já trabalhamos com isso acima, no exercício 2. Examinemos novamente a idéia envolvida, usando exemplo:

Se as vendas de uma empresa aumentaram 20%, então elas passaram de v para   v + 0,20 v = 1,20 v.

Se as vendas de uma empresa diminuiram 20%, então elas passaram de v para   v - 0,20 v = 0,80 v.

EXERCICIO 4

Se o lucro mensal de uma empresa aumentar e diminuir, alternadamente, 10% ao mês, mostre que no final de um ano o lucro estará em 94% do lucro no início do ano. Consequentemente, terá havido uma diminuição anual de 6%.

EXERCICIO 5

A ocorrência do ciclo verão-inverno, ao contrário do que acha a vasta maioria das pessoas, não é governada pela menor ou maior proximidade da Terra em relação ao Sol, mas pela inclinação do eixo de rotação da Terra.

Contudo, pode-se observar que o verão do hemisfério-sul ( HS ) é mais quente do que o verão do hemisfério-norte ( HN ). Para isso aponta-se duas causas:

• a distância Terra ao Sol no verão do HS é 4 % menor do que a correspondente distância no verão do HN.
• o HS tem mais oceanos

Pede-se: levando em conta apenas a primeira dessas causas, calcular em quantos percentos o verão do HS é mais quente do que o verão do HN.

(NOTA: a partir de perguntas de vários de nossos visitantes, informamos que não está faltando nenhum dado numérico para se resolver este problema! Por outro lado, por "mais quente" queremos dizer "recebe mais energia calorífica")

RESPOSTA: 8.5 %

Pontos percentuais

A noção de "pontos percentuais", atualmente, é bastante empregada nos meios de comunicação de massa e pelos economistas brasileiros. Seu significado pode ser facilmente entendido a partir de alguns exemplos:

Se a inflação subiu de 5% para 10%, podemos tanto dizer que houve um aumento de 100% na inflação como dizer que a inflação subiu cinco pontos percentuais

se o imposto XYZ subiu de 2% para 3%, é a mesma coisa dizer que o aumento foi de 50% e dizer que o imposto subiu um ponto percentual

Se a taxa de juros passou de 20% para 50%, esse aumento pode ser descrito como sendo um aumento de 150% ou como sendo um aumento de trinta pontos percentuais.

Lucro

Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e o preço de custo.

Lucro = preço de venda – preço de custo.

Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de prejuízo.

Assim, podemos escrever:

Preço de custo + lucro = preço de venda.

Preço de custo – prejuízo = preço de venda.

Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:

Observação – A mesma análise pode ser feita para o caso de prejuízo.

Fonte: www.mundoescola.com.br

          www.profcardy.com

          www.interna.coeducaçao.com.br

Questões sobre Porcentagem

1) O aumento salarial de uma certa categoria de trabalhadores seria de apenas 6%, mas devido à intervenção do seu sindicato, esta mesma categoria conseguiu mais 120% de aumento sobre o percentual original de 6%. Qual foi o percentual de reajuste conseguido?

Estamos falando de acréscimo de porcentagem de porcentagem, já que os 6% originais foram aumentados em 120%. Vejamos como vai ficar a resolução:

Ou seja, o aumento conseguido foi de 13,2%, mas podemos pensar na resolução do problema de uma outra forma:

O aumento conseguido originalmente era de 6%, este percentual equivale a 100% do aumento conseguido, mas como conseguiu-se mais 120% de aumento, então o passamos a ter 220% ( 100% + 120%) de aumento sobre os 6%, logo o problema consiste em se calcular 220% de 6%:

Portanto:

 O percentual de reajuste conseguido pela categoria foi 13,2%.

2) Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$ 2.204,00 pelo mesmo. Sabe-se que foi obtido um desconto de 5% sobre o preço de etiqueta. Se a compra tivesse sido à vista, o guarda-roupa teria saído por R$ 1.972,00. Neste caso, qual teria sido o desconto obtido?

Como o guarda-roupa foi comprado com 5% de desconto, isto equivale a dizer que foi comprado por 95% (0,95 na forma decimal) do seu preço:

Dividindo-se 2204 por 0,95, iremos obter o preço do produto sem qualquer desconto:

Como o preço à vista seria de R$ 1.972,00 e o preço sem nenhum desconto é de R$ 2.320,00, o desconto obtido seria de R$ 348,00:

Resta-nos calcular quantos por cento é 348 de 2320, o que podemos fazer dividindo-se 348 por 2320:

0,15 é o resultado procurado, mas na forma decimal, multiplicando-o por 100% iremos obter o resultado na forma percentual:

15%

Portanto se o guarda-roupa tivesse sido comprado à vista, o desconto percentual teria sido de 15%

3) Você compra um carro por R$ 20000 e vende-o com lucro de R$ 4000,00. Qual é a porcentagem de lucro, ou seja, quantos por cento eu lucrei em cima de 20000?

Vamos calcular X/100 (X%) pela expressão (para lucro):

Novo preço = preço antigo + X/100 do preço antigo.

4) Um Pen-Drive custa R$ 42,00. O vendedor faz a você um abatimento de 15% sobre o preço do Pen-Drive. Quanto você vai pagar?

Aqui foi dado o X/100 = 15%.

Vamos calcular o Novo preço pela expressão (para abatimento do preço): 

Novo preço = preço - X/100 do preço. Vamos chamar novo preço de X.

Portanto, vou pagar R$ 35,70.

Para sua reflexão: Para obter a resposta, o vendedor poderia multiplicar R$ 42,00 por 0,85? Sim, resultaria em R$ 35,70.

5) (Fundação Carlos Chagas - Escriturário BB - 2011) Em dezembro de 2007, um investidor comprou um lote de ações de uma empresa por R$ 8 000,00. Sabe-se que: em 2008 as ações dessa empresa sofreram uma valorização de 20%; em 2009, sofreram uma desvalorização de  20%, em relação ao seu valor no ano anterior; em 2010, se valorizaram em 20%, em relação ao seu valor em 2009.

De acordo com essas informações, é verdade que, nesses três anos, o rendimento percentual do investimento foi de:

a) 20%.

b) 18,4%.

c) 18%.

d) 15,2%.

e) 15%.

Resolução:

     120   x  80   x   120   =    1152000   =    15,2    =    115,2%

     100       100       100             100              100

6) (PM - ES - 2013). A Banda Junior da PMES atualmente atende cerca de 250 alunos da rede pública de ensino da Grande Vitória. Desde sua criação, já passaram pela Banda Júnior cerca de 1.000 alunos. O percentual de alunos, atualmente atendidos por esse projeto cultural da PMES, em relação ao total de alunos que já passaram por ele desde a sua criação corresponde a:

a) 15%

b) 20%

c) 25%              Basta efetuarmos a divisão:

d) 30%              250/1000 = 0,25 ou 25%

e) 35%

Note que as ações valorizam/desvalorizam em relação ao ano anterior, por isso não podemos simplesmente somar/subtrair as taxas de variação.

7) 30% da população de uma cidade litorânea mora em uma área insular e os demais  337.779 habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha?

30% ----- x

70% ----- 337799

x = 337799 . 30 / 70

x = 144771 habitantes mora na área insular

Total de pessoas = 144771 + 337799

T = 482570 habitantes.

8) Do preço de venda de um artigo de informática, 30% correspondem impostos e comissões pagos pelo logista. Do restante, 60% correspondem ao preço de custo desse produto. Se o restante representa o lucro, então pode-se afirmar que esse lucro representa:

a) 28%

b) 40%

c) 50%

d) 20%

e) 25% 

Resolução:

30% do total = impostos

60% do restante = preço de custo

60% . 70% = preço de custo

0,6 . 70% = 42%

Lucro:

100% - 30% - 42% = 28%. Letra A.

9) (VUNESP-SP) Num tonel de forma cilíndrica  está depositada uma quantidade de vinho que ocupava a metade de sua capacidade.

Retirando-se 40 litros do seu conteúdo  a altura do nível de vinho baixa para 20%. O numero que expressa a capacidade desse tonel em litros é:

a) 200      

b) 300 

c) 400 

d) 500 

e) 800

Resolução:

Se quando retirou 20%, perdeu 40 L, pode utilizar a regra de três. Sabendo que se procura a capacidade a 100%.

20____40
100___x

20x=4000
x=4000/20
x=200

letra A.

10) a mercadoria foi comprada por R$ 500,00 e vendida por R$ 800,00. Pede-se:

a) o lucro obtido na transação;

b) a porcentagem de lucro sobre o preço de custo;

c) a porcentagem de lucro sobre o preço de venda.

Resolução:

a) Lucro = 800 – 500  Lucro = R$ 300,00

b) L_C =  = 0,60 = 60%

c) L_V =  = 0,375 = 37,5%

11) Numa cidade de 50000 habitantes, 42000 têm menos de 40 anos de idade. Qual é a porcentagem dos que têm 40 anos ou mais?

12) Sabe-se que R$ 500,00 representam x% de R$ 2.500,00, que 12 gramas são y% de 96 gramas e que 1.200 m² equivalem a z% de 60km². Os valores de x, y e z são, respectivamente:

a) 10, 12; 2

b) 20, 12,5; 0,2

c) 20; 12,5; 0,002

d) 2; 12; 0,002

e) 20; 12; 0,002

13) (PUC - RS) Se x% de y é igual a 20, então y% de x é igual a:

a) 2                b) 5                c) 20                  d) 40                   e) 80

14) É correto afirmar que 5% de 8% de x é igual a:

a) 0,04% de x

b) 4% de x

c) 40% de x

d) 0,004% de x

e) 0,4% de x

15) (VUNESP) Uma mercadoria teve seu preço acrescido de 10%. Tempos depois, esse novo preço sofreu um desconto de 10%. Denotando-se por pi o preço inicial e por pf o preço final da mercadoria, tem-se:

a) pf = 101% pi

b) pf = pi

c) pf = 99,9% pi

d) pf = 99% pi

e) pf = 90% pi

16) Um vendedor ambulante vende vende seus produtos com lucro de 50% sobre o preço de venda. Então, seu lucro sobre o preço de custo é de:

a) 10%

b) 25%

c) 33,333%

d) 100%

e) 120%

17) Quanto é 15% de 80?

19) Eu tenho 20 anos. Meu irmão tem 12 anos. A idade dele é quantos por cento da minha?

20) Meu carro alcança uma velocidade máxima de 160 km/h. O carro de meu pai atinge até 200 km/h. A velocidade máxima do carro do meu pai é quantos por cento da velocidade máxima do meu carro?

21) (UFPR 2010) Para testar a eficiência de um tratamento contra o câncer, foi selecionado um paciente que possuía um tumor de formato esférico, com raio de 3 cm. Após o início do tratamento, constatou-se, através de tomografias, que o raio desse tumor diminuiu a uma taxa de 2 mm por mês. Caso essa taxa de redução se mantenha, qual dos valores abaixo se aproxima mais do percentual do volume do tumor original que restará após 5 meses de tratamento?

A) 29,6%
B) 30,0%
C) 30,4%
D) 30,8%
E) 31,4%

22) (UFMG 2008) Após se fazer uma promoção em um clube de dança, o número de frequentadores do sexo masculino aumentou de 60 para 84 e, apesar disso, o percentual da participação masculina passou de 30% para 24%. Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que o número de mulheres que frequentam esse clube, após a promoção, teve um aumento de:

A) 76%.
B) 81%.
C) 85%.
D) 90%

23) (UDESC 2010) No final do primeiro semestre deste ano, 40 acadêmicos participaram de uma pesquisa que objetivou analisar a frequência com que estes utilizaram o atendimento extraclasse do professor e/ou do monitor de uma determinada disciplina. Obteve-se o seguinte resultado: 20% dos acadêmicos procuraram atendimento tanto do professor quanto do monitor; 30% dos acadêmicos procuraram somente o atendimento do monitor; 15% dos acadêmicos não opinaram e 4 acadêmicos não procuraram atendimento do professor nem do monitor. Então o número de acadêmicos que procurou o atendimento somente do professor é igual a:

A) 24
B) 18
C) 8
D) 10
E) 20

24) (PUC-RIO 2007) 30% de 30% são:

A) 3000%.
B) 300%.
C) 900%
D) 9%.
E) 0,3%.

25) (PUC-RIO 2009) Em um viveiro há várias araras.

• N 60% das araras são azuis,
• N 40% das araras são vermelhas,
• N 40% das araras azuis têm bico branco,
• N 30% das araras vermelhas têm bico branco.

Que porcentagem das araras do viveiro tem bico branco?

A) 10%
B) 12%
C) 24%
D) 36%
E) 40%

26) (PUC-RIO 2010) Em uma turma de Ciências da Computação formada de 40rapazes e 40 moças, tem-se a seguinte estatística:20% dos rapazes são fumantes;30% das moças são fumantes.Logo, a porcentagem dos que não fumam na turma é de:

A) 25%
B) 50%
C) 60%
D) 65%
E) 75%

27) (CESGRANRIO-2011) Rômulo tem R$ 220,00, Natanael tem R$ 350,00 e Vitor nada tem. Rômulo e Natanael dão parte de seu dinheiro a Vitor, de forma que todos acabam ficando com a mesma quantia. O dinheiro dado por Natanael representa, aproximadamente, quantos por certo do aquele possuía?

a) 19,5%
b) 21,1%
c) 33,4%
d) 45,7%
e) 52,3% 

28) (VUNESP) Um investidor aplicou certa quantia em um fundo de ações. Nesse fundo, 1/3 das ações eram da empresa A, 1/2 eram da empresa B e as restantes, da empresa C. Em um ano, o valor das ações da empresa A aumentou 20%, o das ações da empresa B diminuiu 30% e o das ações da empresa C aumentou 17%. Em relação á quantia total aplicada, ao final desse ano, este investidor obteve:

a) lucro de 10,3%
b) lucro de 7,0%
c) prejuízo de 5,5%
d) prejuízo de 12,4%
e) prejuízo de 16,5% 

29) (PM-Louveira-Vunesp) Em um programa social desenvolvido pela prefeitura de um município, inscreveram-se 900 famílias carentes. A prefeitura começou implementar esse programa atendendo, no 1º mês 15% dessas famílias e, em cada mês seguinte, até o 3º mês, 30 famílias a mais que o mês imediatamente anterior. Após esses três meses, o programa já havia atendido, do total de famílias.

a) 21%
b) 40%
c) 45%
d) 52%
e) 55% 

30)  (MPU) Um clube está fazendo uma campanha, entre seus associados, para arrecadar fundos destinados a uma nova pintura na sede social. Contatados 60% dos associados verificou-se que havia atingido 75% da quantia necessária para a pintura, e que a contribuição média correspondia a R$ 60,00 por associado contatado. Então, para completar exatamente a quantia necessária para a pintura, a contribuição média por associado, entre os restantes associados ainda não contados, deve ser igual a:

a) R$ 25,00
b) R$ 30,00
c) R$ 40,00
d) R$ 50,00
e) R$ 60,00

31) (ENEM - 2010) Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir.

Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente?

A) 3 doses.
B) 4 doses.
C) 6 doses.
D) 8 doses.
E) 10 doses.

32) (ENEM - 2010) João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitasse esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado.

A opção que dá a João o menor gasto seria

A) renegociar suas dívidas com o banco.
B) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas.
C) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos.
D) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do cartão de crédito.
E) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do cheque especial.

33) (UFMG-2007) Um carro bicombustível percorre 8 km com um litro de álcool e 11 km com um litro do combustível constituído de 75% de gasolina e de 25% de álcool, composição adotada, atualmente, no Brasil.

Recentemente, o Governo brasileiro acenou para uma possível redução, nessa mistura, da porcentagem de álcool, que passaria a ser de 20%.

Suponha que o número de quilômetros que esse carro percorre com um litro dessa mistura varia linearmente de acordo com a proporção de álcool utilizada.

Então, é CORRETO afirmar que, se for utilizado um litro da nova mistura proposta pelo Governo, esse carro percorrerá um total de

A) 11,20 km .
B) 11,35 km .
C) 11,50 km .
D) 11,60 km .

34) (UFPE-2006) Segundo pesquisa recente, 7% da população brasileira é analfabeta, e 64% da população de analfabetos é do sexo masculino. Qual percentual da população brasileira é formada por analfabetos do sexo feminino?

A) 2,52%
B) 5,20%
C) 3,60%
D) 4,48%
E) 3,20%.

35) (UFPE-2001) O custo da cesta básica aumentou 1,03% em determinada semana. O aumento foi atribuído exclusivamente à variação do preço dos alimentos que subiram 1,41%. Qual o percentual de participação dos alimentos no cálculo da cesta básica (indique o valor mais próximo)?

A) 73%
B) 74%
C) 75%
D) 76%
E) 77%.

36) (FUVEST) Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20% respectivamente, a área do retângulo é aumentada de:

(A) 35% 
(B) 30% 
(C) 3,5% 
(D) 3,8% 
(E) 38%

37) Um trabalhador comprou uma bicicleta, conseguindo um abatimento de 10% sobre o preço marcado. Do valor a ser pago, 40% foi dado como entrada e o restante foi pago em 5 parcelas sem juros, no valor de R$ 41,04 cada. O valor do abatimento obtido foi

(A) R$ 32,00.
(B) R$ 35,00.
(C) R$ 38,00.
(D) R$ 40,00.
(E) R$ 42,00.

38) (UFSC) De uma excursão participam 280 pessoas, sendo que 40% do número de homens é igual a 30% do número de mulheres. O número de homens é: 

a) 208 
b) 120 
c) 180
d) 140
e) 210

39) (UFRS-2005) Uma pessoa gastava, em julho de 1994, apenas 100 reais para comprar o que, em julho de 2004, custava 270 reais. De acordo com essa informação, o percentual mais próximo da perda do poder de compra do real nesse período de 10 anos é o da alternativa

A) 37%       B) 63%     C) 80%      D) 170%       E) 270%

40) (IBMEC-2007) Uma mercadoria sofreu um aumento de (2x)%, sendo x um número positivo. Algum tempo depois, em uma promoção, ela foi vendida com desconto de x%. Se o total pago pelo cliente nessa ocasião foi igual ao preço da mercadoria praticado antes do aumento, o valor de x é aproximadamente

a) 33,3.
b) 41,4.
c) 50,0.
d) 66,7.
e) 100,0.

Gabarito:

11) 16%  12) C  13) C 14) E  15) D 16) D 17) 12  19) 60% 20) 25%  21) A  22) D  23) D  24) D  25) D   26) E  27) D  28) C  29) E  30) B  31) B  32) E  33) A  34) A  35) A  36) E  37) C  38) B  39) B  40) C

Juros Compostos: fórmula e exemplos

Juros Compostos: fórmula e exemplos

O atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele oferece uma maior rentabilidade se comparado ao regime de juros simples, onde o valor dos rendimentos se torna fixo, e no caso do composto o juro incide mês a mês de acordo com o somatório acumulativo do capital com o rendimento mensal, isto é, prática do juro sobre juro. As modalidades de investimentos e financiamentos são calculadas de acordo com esse modelo de investimento, pois ele oferece um maior rendimento, originando mais lucro.

Considere que uma pessoa aplique R$ 500,00 durante 8 meses em um banco que paga 1% de juro ao mês. Qual será o valor ao final da aplicação?

A tabela demonstrará mês a mês a movimentação financeira na aplicação do regime de juros compostos.



No final do 8º mês o montante será de R$ 541,43.

Uma expressão matemática utilizada no cálculo dos juros compostos é a seguinte:

M = C * (1 + i)^t, onde:
M: montante
C: capital
i: taxa de juros
t: tempo de aplicação 

Obs.: Os cálculos envolvendo juros compostos exigem conhecimentos de manuseio de uma calculadora científica.

Exemplo 2
Qual o montante produzido por um capital de R$ 7.000,00 aplicados a uma taxa de juros mensais de 1,5% durante um ano?

C: R$ 7.000,00
i: 1,5% ao mês = 1,5/100 = 0,015
t: 1 ano = 12 meses

M = C * (1 + i)^t
M = 7000 * (1 + 0,015)¹²
M = 7000 * (1,015)¹² 
M = 7000 * 1,195618
M = 8369,33
O montante será de R$ 8.369,33.

Com a utilização dessa fórmula podemos também calcular o capital de acordo com o montante.

Exemplo 3 
Calcule o valor do capital que, aplicado a uma taxa de 2% ao mês, rendeu em 10 meses a quantia de R$ 15.237,43?

M: R$ 15.237,43
t: 10
i: 2% a.m. = 2/100 = 0,02

M = C * (1 + i)^t
15237,43 = C * (1 + 0,02)¹⁰
15237,43 = C * (1,02)¹⁰
15237,43 = C * 1,218994
C = 15237,43 / 1,218994
C = 12500,00

O capital é de R$ 12.500,00.

Questões propostas e resolvidas sobre juros compostos

1) Uma loja vende seus artigos nas seguintes condições: à vista com 30% de desconto sobre o preço da tabela ou no cartão de crédito com 10% de acréscimo sobre o preço de tabela. Um artigo que a vista sai por R$ 7.000,00 no cartão sairá por?

2) A quantia de R$ 15.000,00 é emprestada a uma taxa de juros de 20% ao mês. Aplicando-se JUROS COMPOSTOS, determine o valor que deverá ser pago para a quitação da dívida, três meses depois.

3) Um investidor aplicou R$ 500,00 em caderneta de poupança. As taxas de juros foram de 25% no primeiro mês e 28% no segundo mês.

Nessas condições, determine o valor acumulado, ao final desses dois meses.

4) Planejo emprestar R$ 18.000,00 por um período de 18 meses ao final do qual pretendo receber de volta um total de R$ 26.866,57. Qual deve ser o percentual da taxa de juro composto para que eu venha a conseguir este montante? 
5) Um comprador pagou uma mercadoria em duas parcelas, sendo uma no ato da compra e a outra, trinta dias depois. Se o preço à vista era de R$ 430,00, o valor da primeira parcela foi R$ 230,00 e se lhe foi cobrada uma taxa de juros de 15% ao mês, determine o valor da segunda parcela.

6)  A população de uma cidade, no final de 1998, era de 150 000 habitantes. Ela cresce 2% ao ano. Calcule o aumento da população dessa cidade do final de 1997 até o final do ano 2000.

7) Comprei o material para a reforma da minha casa, pelo qual pagarei um total de R$ 38.664,00. O seu valor à vista era de R$ 27.000,00 e a taxa de juros é de 2,4% a.m. Por quantos  anos eu pagarei por este material? 

8) Um aplicador investiu R$ 35.000,00 por 1 semestre, à taxa de juros simples de 24,72% a.a. Em quanto o capital foi aumentado por este investimento?

9) O valor principal de uma aplicação é de R$ 2.000,00. Resgatou-se um total de R$ 2.450,00 após 1 mês. Qual o valor da taxa de juros a.d.?

10) Nas operações de empréstimo, uma financeira cobra taxa efetiva de juros, no regime de capitalização composta, de 10,25% ao ano. Isso equivale a cobrar juros com taxa anual e capitalização semestral de

A) 10,51%           B) 10,25%           C) 5%            D) 10%                E) 5,51%

Agora algumas questões resolvidas sobre juros compostos

11) Uma pessoa caminha em uma pista plana com a forma de triângulo retângulo. Ao dar uma volta completa na pista com velocidade constante de caminhada, ela percorre 600 e 800 metros nos trajetos correspondentes aos catetos da pista triangular, e o restante da caminhada ela completa em 10 minutos. A velocidade constante de caminhada dessa pessoa é igual a quantos quilômetros por hora?

A resolução desta questão se baseia no teorema de Pitágoras. Vamos descobrir a medida do trajeto percorrido em 10 minutos, a partir do qual iremos calcular a velocidade procurada.

Para solucionar o problema vamos observar a figura ao lado que representa a pista em questão.

Em função do enunciado sabemos que o lado a, correspondente à hipotenusa, foi percorrido em 10 minutos, assim sendo, basta descobrirmos o seu comprimento para podermos calcular a velocidade na qual ele foi percorrido, que é constante em todo o percurso.

Segundo o teorema de Pitágoras o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos, para quaisquer triângulos retângulos.

O teorema pode ser representado pela seguinte equação:

Neste nosso problema temos b = 600 e c = 800, o que nos leva à seguinte equação:

Agora temos condições de descobrir quantos metros possui o trecho da pista que foi percorrido em dez minutos.

Vejamos:

Agora sabemos o trecho percorrido em dez minutos tem 1000 m de comprimento.

Se em 10 min percorremos 1000 m, em 60 min (ou seja, em 1 h) vamos percorrer quantos metros?

Resolvendo a regra de três simples e direta temos:

Então a velocidade constante de caminhada foi de 6000 m por hora, mas o enunciado pede a velocidade em km/h, por isto precisamos realizar mais uma conversão, agora de m para km.

Já aprendemos que a conversão de metros para quilômetros é realizada dividindo-se por 1000 a medida em metros. Como temos 6000 metros, ao dividi-los por 1000 obtemos 6 quilômetros.

Portanto:

A velocidade constante de caminhada é de 6 km/h.

12) Um professor aplicou duas provas, cada uma valendo 10. O combinado com seus alunos era que a média final de cada um seria calculada utilizando-se peso 1 na nota da primeira prova e peso 2 na nota da segunda prova. Na hora de fazer os cálculos da média de um aluno, o professor trocou os pesos entre as duas provas, obtendo média igual a 5. Corrigido o erro, a média do aluno subiu 1 ponto. Nas condições do problema, a nota que esse aluno tirou na segunda prova superou sua nota da primeira prova em quantos por cento?

A resolução desta outra questão envolve tanto o cálculo da média aritmética ponderada, quanto o cálculo de porcentagem.

Em resumo precisamos descobrir o valor de cada nota, para então descobrimos quantos por cento a segunda nota é maior que a primeira. Vamos então à resolução.

Segundo o enunciado, erroneamente a média foi calculada com os pesos invertidos. A primeira nota tendo peso 2e a segunda peso 1:

No entanto a média deveria ser calculada tendo a primeira nota peso 1 e a segunda peso 2:

Note que com os pesos corretos a média passou de 5 a 6 conforme o enunciado.

Vamos tratar as equações eliminado assim as frações:

Como temos duas variáveis com duas equações, vamos montar um sistema de equações com duas variáveis para identificarmos o valor de cada nota obtida pelo aluno:

Vamos eliminar N₂ multiplicando a primeira equação por -2 e somando à segunda equação, obtendo assim o valor de N₁:

Agora podemos obter o valor de N₂ substituindo N₁ pelo seu valor na primeira equação:

Agora sabemos que o aluno teve nota 4 na primeira prova e nota 7 na segunda prova.

Como o enunciado pergunta quantos por cento a segunda nota é maior que a primeira, precisamos dividir a diferença entre a segunda e a primeira, pela primeira nota:

Esta divisão resulta em 0,75 que é o valor procurado, mas na forma decimal, precisamos então multiplicá-lo por100% para convertê-lo na forma percentual:

Então:

A nota que esse aluno tirou na segunda prova superou sua nota da primeira prova em 75%.

13) Hoje, a idade de um pai é o quíntuplo da idade de seu filho e, daqui a 15 anos, a soma das idades será de 60 anos. Pode-se afirmar que daqui a 15 anos, a idade do pai será quantas vezes a idade do filho?

Nesta questão iremos montar um sistema de equações do primeiro grau com duas incógnitas para obtermos a idade do pai e a idade do filho, depois iremos utilizar o conceito de razão para descobrirmos quantas vezes a primeira é maior que a última.

A idade do pai é o quíntuplo da idade do seu filho, o que nos leva à seguinte equação:

Onde p é a idade do pai e f a idade do filho.

Daqui a 15 anos a soma das idades será de 60 anos. Isto pode ser expresso como:

Para ficar mais simples o trabalho, vamos simplificar a expressão:

Vamos então montar o sistema de equações:

Vamos solucioná-lo pelo método da substituição. Na segunda equação vamos substituir p por 5f:

Agora podemos substituir f por 5 na primeira equação:

Sabendo que o pai tem 25 anos e que o filho tem 5 anos, basta calcularmos a razão das idades que eles terão daqui quinze anos:

Então:

Daqui a 15 anos, a idade do pai será 2 vezes a idade do filho.

14) Suponha que o preço da ação de uma empresa tenha sofrido as seguintes variações sucessivas no primeiro trimestre de um determinado ano: em janeiro, aumentou 12%; em fevereiro, sofreu uma redução de 8%; e, em março, uma redução de 4%, sempre em relação ao mês anterior. Considerando-se essas variações, ao final do trimestre, em relação ao preço original, o preço da ação subiu ou desceu quanto por cento aproximadamente (sem casas decimais)?

Resolvemos esta questão através do cálculo em sequência de porcentagens.

Quando queremos acrescentar 12% a um valor, devemos multiplicá-lo por 1,12:

O 100% se refere ao valor original e o 12% se refere ao acréscimo.

Para reduzirmos 8% precisamos multiplicar por 0,92:

A redução de 4% é realizada da mesma forma multiplicando por 0,96:

Multiplicando estes três percentuais na forma decimal iremos descobrir se o valor da ação aumentou, diminui, ou se manteve o mesmo:

Como 98,9184% é inferior a 100%, isto indica que o valor da ação diminui.

Obtemos a variação percentual calculando a diferença:

Portanto:

O preço da ação desceu aproximadamente 1%.

15) Comprei um novo computador, mas como não tinha o dinheiro todo, fiz um empréstimo para pagá-lo. Ao final do empréstimo terei pago R$ 4.300,00. Só de juros pagarei R$ 1.800,00. A taxa foi de 3% a.m. Por quantos  anos pagarei pelo empréstimo? Qual o preço do computador sem os juros?

Primeiramente iremos calcular o valor do capital.

A diferença entre o montante (R$  4.300,00) e o valor total do juro (R$  1.800,00), nos dá o valor do capital:

Veja que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Neste caso, devemos converter uma das unidades.

Montando uma regra de três simples direta, temos:

Resolvendo:

Identificando-se os termos disponíveis, temos:

Para calcularmos o período de tempo utilizaremos a fórmula:

Substituindo o valor dos termos temos:

Logo:

Portanto:

 O valor do computador sem os juros era de R$ 2.500,00 e o prazo de pagamento foi de 2 anos.

Sem utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo resultado, pelo seguinte raciocínio:

Ao multiplicarmos o valor do capital pela taxa de juros, iremos obter o juro referente a cada período:

Neste caso, basta-nos dividir o valor de R$ 1.800,00, referente ao valor total do juro, por R$ 900,00 correspondente ao valor do juro em cada período, obtendo assim o período de tempo procurado:

16) Aninha retirou de uma aplicação o total R$ 74.932,00, após decorridos 3,5 semestres. O valor dos juros obtidos foi de R$ 22.932,00. Qual a taxa de juros a.b.?

Inicialmente o valor do capital será obtido subtraindo-se do montante (R$  74.932,00), o valor total do juro (R$  22.932,00):

Veja bem que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Sendo assim, devemos converter uma das unidades.

Montando uma regra de três simples direta, temos:

Resolvendo:

Identificando-se os termos disponíveis, temos:

Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula:

Substituindo o valor dos termos temos:

Logo:

Portanto:

 4,2% a.b. é a taxa de juros da aplicação na qual Aninha investiu.

Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos juros, R$ 22.932,00, pelo valor do principal, R$ 52.000,00, de sorte a encontrar a taxa de juros total do período:

Dividindo-se então, esta taxa de 0,441 pelo período de tempo, 10,5, obteríamos a taxa desejada:

17) Timóteo pagou mensalmente, pelo período de 1 ano, por um curso que à vista custava R$ 1.800,00. Por não ter o dinheiro, financiou-o a uma taxa de juros simples de 1,3% a.m. Qual o valor total pago pelo curso? Qual o valor dos juros?

Veja que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Neste caso, devemos converter uma das unidades.

Identificando-se os termos disponíveis, temos:

Para calcularmos o juro utilizaremos a fórmula:

Substituindo o valor dos termos temos:

Logo:

O montante é obtido somando-se ao valor do capital, o valor total dos juros. Tal como na fórmula:

Ao substituirmos o valor dos termos temos:

Portanto:

 O valor dos juros foi de R$ 280,80, que acrescentado ao preço do curso de R$ 1.800,00, totalizou R$ 2.080,80.

Ao invés de utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo resultado, apenas pela aplicação de alguns conceitos.

Como sabemos, o juro referente a cada período é calculado multiplicando-se o valor do capital pela taxa de juros. Então o valor do juro por período seria:

Ora, sendo o valor do juro em cada período correspondente a R$ 23,40, resta-nos multiplicar este valor por 12, correspondente ao período de tempo, para termos o valor procurado:

O valor do montante será encontrado, simplesmente somando-se ao valor do principal, o valor total dos juros:

18) Em uma aplicação recebi de juros R$ 141,75. O dinheiro ficou aplicado por 45 dias. Eu tinha aplicado R$ 3.500,00. Qual foi a taxa de juros a.a. da aplicação?

Identificando-se os termos disponíveis, temos:

Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula:

Substituindo o valor dos termos temos:

No entanto, como a unidade de tempo da taxa solicitada está em anos ('a.a.') e o cálculo foi realizado na unidade do período de tempo que está em 'dias', devemos converter a unidade de tempo da taxa calculada de a.d. ('dias') para a.a. ('anos').

Logo:

Resolvendo:

Portanto:

 32,4% a.a. foi a taxa de juros simples da aplicação.

Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos juros, R$ 141,75, pelo valor do principal, R$ 3.500,00, de forma a encontrar a taxa de juros total do período:

Dividindo-se então, esta taxa de 0,0405 pelo período de tempo, 45, obteríamos a taxa desejada:

Resta ainda converter a taxa de juros para a unidade de tempo solicitada, o que pode ser feito se realizando o procedimento de conversão conforme efetuado acima.

19) Um aparelho DVD Player foi pago em 5 prestações mensais de R$ 383,90 sem entrada. Sabendo-se que a taxa de juros foi de 2% a.m., qual seria o pago caso eu tivesse feito a compra à vista?

Para o cálculo de PV que corresponde ao valor à vista, utilizaremos a fórmula:

Para calcularmos o coeficiente de financiamento utilizaremos as variáveis a seguir:

Vamos então calculá-lo:

Sabendo-se que PMT = 383,90 e que CF = 0,212158, podemos calcular PV:

Portanto:

Eu teria pago um total de R$ 1.809,50 se tivesse realizado a compra à vista.

20) Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., quanto receberei de volta após um ano de aplicação? Qual o juro obtido neste período?

Primeiramente vamos identificar cada uma das variáveis fornecidas pelo enunciado do problema:

Como a taxa de juros está em meses, também iremos trabalhar com o período de tempo em meses e não em anos como está no enunciado do problema.

Pelo enunciado identificamos que foram solicitados o montante e o juro, utilizaremos, portanto a fórmula abaixo que nos dá o montante:

Ao substituirmos cada uma das variáveis pelo seu respectivo valor teremos:

Podemos então realizar os cálculos para encontramos o valor do montante:

Logo o montante a receber será de R$ 18.362,96. Sabemos que a diferença entre o montante e o capital aplicado nos dará os juros do período. Temos então:

Portanto:

Após um ano de aplicação receberei de volta um total de R$ 18.362,96, dos quais R$ 3.362,96 serão recebidos a título de juros.

Gabarito:

1) R$ 11.000,00   2) R$ 25.900,00   3) R$ 800,00  4) i = 2,25%  5) R$ 230,00  6) 9 000 habitantes aproximadamente.  7) 1,5 anos  8) R$ 4.326,00  9) 0,75% A.D 10) D