Porcentagem - resumo (com exercícios)

Porcentagem

Porcentagem é uma fração de denominador centesimal, ou seja, é uma fração de denominador 100. Representamos porcentagem pelo símbolo % e lê-se: “por cento”.

Deste modo, a fração  é uma porcentagem que podemos representar por 20%.

Exemplo: 

Exemplo 2: Maria juntou 45% do seu salário  que é de R$ 900,00. Quanto de dinheiro Maria juntou?

45% de 900 = 45/100 * 900 = 405. Assim, Maria juntou R$ 405,00.

Exemplo 3: O preço de uma  casa sofreu um  aumento de 20%, passando a ser vendida por 35 000 reais. Qual era o preço desta casa antes deste aumento?

Porcentagem         Preço

120                    35 000

100                      x

Logo, o preço anterior era 29 166,67 

O cálculo de percentagens compostas ou concatenadas

Estamos falando de situações como a seguinte:

Se a inflação de novembro foi 3% e a de dezembro foi 5%, qual a inflação dos dois meses?

A enorme maioria das pessoas acha que esse tipo de problema resolve-se por soma. Isso é totalmente errado. Problemas deste tipo são resolvidos por multiplicação. Vejamos:

Se no início de novembro, um produto custava p reais, no início de dezembro ele custará p reais mais 3% de p, ou seja, custará p' = p + 0,03 p = 1,03 p.

O novo preço p' terá subido, no início de janeiro, para:

p''= 1,05 p' = 1,05 x 1,03 p = 1,0815 p .

Conseqüentemente, a inflação total foi de 8,15 %.

É simplesmente fundamental que V. entenda isso. Para tal, faça os seguintes problemas, de ordem crescente de dificuldade:

EXERCÍCIO 1

Maria e José ficaram janeiro e fevereiro na praia. Maria engordou 10% em jan e 20% em fev, já José engordou 20% em jan e 10% em fev. Quem engordou mais?

RESPOSTA: sabendo que podemos fazer o produto de dois números em qualquer ordem, sem alterar o resultado, é desnecessário fazer qualquer conta para ver que os dois engordaram o mesmo percentual .

EXERCÍCIO 2

Se nossa Maria tivesse engordado 10% em jan, mas emagrecido 10% em fev, qual o efeito total?

RESPOSTA: pelo que já vimos, espero que V. tenha saído da vala comum da imensa maioria dos vestibulandos, os quais acham que o efeito total é zero ( pois 10 - 10 = 0 ). Claro que não é, pois 1,10 x 0,90 não é 1, mas 0,99 ( ie, Maria emagreceu 1%)

EXERCICIO 3

Se uma caderneta de poupança rende 0,5% ao mês, uma aplicação de 300 reais terá que saldo após 8 meses?

RESPOSTA: V. já sabe que o juro pago não é 8 x 0,5 = 4 % e que então o saldo não é 1,04 x 300 , mas sim :

1,0058 x 300 = 1,040707 x 300 = 312,21

EXERCÍCIO 4

(Unicamp-SP) Como se sabe, os icebergs são enormes blocos de gelo que se desprendem das geleiras polares e flutuam pelos oceanos. Suponha que a parte submersa de um iceberg corresponda a 8/9 do seu volume total e que o volume da parte não submersa é de 135 000 m³.

a) Calcule o volume total do iceberg.
b) Calcule o volume de gelo puro do iceberg supondo que 2% de seu volume total é constituído de “impurezas”, como matéria orgânica, ar e minerais.

Resolução V = volume total do iceberg a)      b) Vimpurezas = 2% de V = 0,02 · 1 215 000 = 24 300 m3 Vgelo puro = V – Vimpurezas = 1 215 000 – 24 300 = 1 190 700 m3

Aumentos e diminuições percentuais

A rigor já trabalhamos com isso acima, no exercício 2. Examinemos novamente a idéia envolvida, usando exemplo:

Se as vendas de uma empresa aumentaram 20%, então elas passaram de v para   v + 0,20 v = 1,20 v.

Se as vendas de uma empresa diminuiram 20%, então elas passaram de v para   v - 0,20 v = 0,80 v.

EXERCICIO 4

Se o lucro mensal de uma empresa aumentar e diminuir, alternadamente, 10% ao mês, mostre que no final de um ano o lucro estará em 94% do lucro no início do ano. Consequentemente, terá havido uma diminuição anual de 6%.

EXERCICIO 5

A ocorrência do ciclo verão-inverno, ao contrário do que acha a vasta maioria das pessoas, não é governada pela menor ou maior proximidade da Terra em relação ao Sol, mas pela inclinação do eixo de rotação da Terra.

Contudo, pode-se observar que o verão do hemisfério-sul ( HS ) é mais quente do que o verão do hemisfério-norte ( HN ). Para isso aponta-se duas causas:

• a distância Terra ao Sol no verão do HS é 4 % menor do que a correspondente distância no verão do HN.
• o HS tem mais oceanos

Pede-se: levando em conta apenas a primeira dessas causas, calcular em quantos percentos o verão do HS é mais quente do que o verão do HN.

(NOTA: a partir de perguntas de vários de nossos visitantes, informamos que não está faltando nenhum dado numérico para se resolver este problema! Por outro lado, por "mais quente" queremos dizer "recebe mais energia calorífica")

RESPOSTA: 8.5 %

Pontos percentuais

A noção de "pontos percentuais", atualmente, é bastante empregada nos meios de comunicação de massa e pelos economistas brasileiros. Seu significado pode ser facilmente entendido a partir de alguns exemplos:

Se a inflação subiu de 5% para 10%, podemos tanto dizer que houve um aumento de 100% na inflação como dizer que a inflação subiu cinco pontos percentuais

se o imposto XYZ subiu de 2% para 3%, é a mesma coisa dizer que o aumento foi de 50% e dizer que o imposto subiu um ponto percentual

Se a taxa de juros passou de 20% para 50%, esse aumento pode ser descrito como sendo um aumento de 150% ou como sendo um aumento de trinta pontos percentuais.

Lucro

Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e o preço de custo.

Lucro = preço de venda – preço de custo.

Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de prejuízo.

Assim, podemos escrever:

Preço de custo + lucro = preço de venda.

Preço de custo – prejuízo = preço de venda.

Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:

Observação – A mesma análise pode ser feita para o caso de prejuízo.

Fonte: www.mundoescola.com.br

          www.profcardy.com

          www.interna.coeducaçao.com.br

Questões sobre Porcentagem

1) O aumento salarial de uma certa categoria de trabalhadores seria de apenas 6%, mas devido à intervenção do seu sindicato, esta mesma categoria conseguiu mais 120% de aumento sobre o percentual original de 6%. Qual foi o percentual de reajuste conseguido?

Estamos falando de acréscimo de porcentagem de porcentagem, já que os 6% originais foram aumentados em 120%. Vejamos como vai ficar a resolução:

Ou seja, o aumento conseguido foi de 13,2%, mas podemos pensar na resolução do problema de uma outra forma:

O aumento conseguido originalmente era de 6%, este percentual equivale a 100% do aumento conseguido, mas como conseguiu-se mais 120% de aumento, então o passamos a ter 220% ( 100% + 120%) de aumento sobre os 6%, logo o problema consiste em se calcular 220% de 6%:

Portanto:

 O percentual de reajuste conseguido pela categoria foi 13,2%.

2) Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$ 2.204,00 pelo mesmo. Sabe-se que foi obtido um desconto de 5% sobre o preço de etiqueta. Se a compra tivesse sido à vista, o guarda-roupa teria saído por R$ 1.972,00. Neste caso, qual teria sido o desconto obtido?

Como o guarda-roupa foi comprado com 5% de desconto, isto equivale a dizer que foi comprado por 95% (0,95 na forma decimal) do seu preço:

Dividindo-se 2204 por 0,95, iremos obter o preço do produto sem qualquer desconto:

Como o preço à vista seria de R$ 1.972,00 e o preço sem nenhum desconto é de R$ 2.320,00, o desconto obtido seria de R$ 348,00:

Resta-nos calcular quantos por cento é 348 de 2320, o que podemos fazer dividindo-se 348 por 2320:

0,15 é o resultado procurado, mas na forma decimal, multiplicando-o por 100% iremos obter o resultado na forma percentual:

15%

Portanto se o guarda-roupa tivesse sido comprado à vista, o desconto percentual teria sido de 15%

3) Você compra um carro por R$ 20000 e vende-o com lucro de R$ 4000,00. Qual é a porcentagem de lucro, ou seja, quantos por cento eu lucrei em cima de 20000?

Vamos calcular X/100 (X%) pela expressão (para lucro):

Novo preço = preço antigo + X/100 do preço antigo.

4) Um Pen-Drive custa R$ 42,00. O vendedor faz a você um abatimento de 15% sobre o preço do Pen-Drive. Quanto você vai pagar?

Aqui foi dado o X/100 = 15%.

Vamos calcular o Novo preço pela expressão (para abatimento do preço): 

Novo preço = preço - X/100 do preço. Vamos chamar novo preço de X.

Portanto, vou pagar R$ 35,70.

Para sua reflexão: Para obter a resposta, o vendedor poderia multiplicar R$ 42,00 por 0,85? Sim, resultaria em R$ 35,70.

5) (Fundação Carlos Chagas - Escriturário BB - 2011) Em dezembro de 2007, um investidor comprou um lote de ações de uma empresa por R$ 8 000,00. Sabe-se que: em 2008 as ações dessa empresa sofreram uma valorização de 20%; em 2009, sofreram uma desvalorização de  20%, em relação ao seu valor no ano anterior; em 2010, se valorizaram em 20%, em relação ao seu valor em 2009.

De acordo com essas informações, é verdade que, nesses três anos, o rendimento percentual do investimento foi de:

a) 20%.

b) 18,4%.

c) 18%.

d) 15,2%.

e) 15%.

Resolução:

     120   x  80   x   120   =    1152000   =    15,2    =    115,2%

     100       100       100             100              100

6) (PM - ES - 2013). A Banda Junior da PMES atualmente atende cerca de 250 alunos da rede pública de ensino da Grande Vitória. Desde sua criação, já passaram pela Banda Júnior cerca de 1.000 alunos. O percentual de alunos, atualmente atendidos por esse projeto cultural da PMES, em relação ao total de alunos que já passaram por ele desde a sua criação corresponde a:

a) 15%

b) 20%

c) 25%              Basta efetuarmos a divisão:

d) 30%              250/1000 = 0,25 ou 25%

e) 35%

Note que as ações valorizam/desvalorizam em relação ao ano anterior, por isso não podemos simplesmente somar/subtrair as taxas de variação.

7) 30% da população de uma cidade litorânea mora em uma área insular e os demais  337.779 habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha?

30% ----- x

70% ----- 337799

x = 337799 . 30 / 70

x = 144771 habitantes mora na área insular

Total de pessoas = 144771 + 337799

T = 482570 habitantes.

8) Do preço de venda de um artigo de informática, 30% correspondem impostos e comissões pagos pelo logista. Do restante, 60% correspondem ao preço de custo desse produto. Se o restante representa o lucro, então pode-se afirmar que esse lucro representa:

a) 28%

b) 40%

c) 50%

d) 20%

e) 25% 

Resolução:

30% do total = impostos

60% do restante = preço de custo

60% . 70% = preço de custo

0,6 . 70% = 42%

Lucro:

100% - 30% - 42% = 28%. Letra A.

9) (VUNESP-SP) Num tonel de forma cilíndrica  está depositada uma quantidade de vinho que ocupava a metade de sua capacidade.

Retirando-se 40 litros do seu conteúdo  a altura do nível de vinho baixa para 20%. O numero que expressa a capacidade desse tonel em litros é:

a) 200      

b) 300 

c) 400 

d) 500 

e) 800

Resolução:

Se quando retirou 20%, perdeu 40 L, pode utilizar a regra de três. Sabendo que se procura a capacidade a 100%.

20____40
100___x

20x=4000
x=4000/20
x=200

letra A.

10) a mercadoria foi comprada por R$ 500,00 e vendida por R$ 800,00. Pede-se:

a) o lucro obtido na transação;

b) a porcentagem de lucro sobre o preço de custo;

c) a porcentagem de lucro sobre o preço de venda.

Resolução:

a) Lucro = 800 – 500  Lucro = R$ 300,00

b) L_C =  = 0,60 = 60%

c) L_V =  = 0,375 = 37,5%

11) Numa cidade de 50000 habitantes, 42000 têm menos de 40 anos de idade. Qual é a porcentagem dos que têm 40 anos ou mais?

12) Sabe-se que R$ 500,00 representam x% de R$ 2.500,00, que 12 gramas são y% de 96 gramas e que 1.200 m² equivalem a z% de 60km². Os valores de x, y e z são, respectivamente:

a) 10, 12; 2

b) 20, 12,5; 0,2

c) 20; 12,5; 0,002

d) 2; 12; 0,002

e) 20; 12; 0,002

13) (PUC - RS) Se x% de y é igual a 20, então y% de x é igual a:

a) 2                b) 5                c) 20                  d) 40                   e) 80

14) É correto afirmar que 5% de 8% de x é igual a:

a) 0,04% de x

b) 4% de x

c) 40% de x

d) 0,004% de x

e) 0,4% de x

15) (VUNESP) Uma mercadoria teve seu preço acrescido de 10%. Tempos depois, esse novo preço sofreu um desconto de 10%. Denotando-se por pi o preço inicial e por pf o preço final da mercadoria, tem-se:

a) pf = 101% pi

b) pf = pi

c) pf = 99,9% pi

d) pf = 99% pi

e) pf = 90% pi

16) Um vendedor ambulante vende vende seus produtos com lucro de 50% sobre o preço de venda. Então, seu lucro sobre o preço de custo é de:

a) 10%

b) 25%

c) 33,333%

d) 100%

e) 120%

17) Quanto é 15% de 80?

19) Eu tenho 20 anos. Meu irmão tem 12 anos. A idade dele é quantos por cento da minha?

20) Meu carro alcança uma velocidade máxima de 160 km/h. O carro de meu pai atinge até 200 km/h. A velocidade máxima do carro do meu pai é quantos por cento da velocidade máxima do meu carro?

21) (UFPR 2010) Para testar a eficiência de um tratamento contra o câncer, foi selecionado um paciente que possuía um tumor de formato esférico, com raio de 3 cm. Após o início do tratamento, constatou-se, através de tomografias, que o raio desse tumor diminuiu a uma taxa de 2 mm por mês. Caso essa taxa de redução se mantenha, qual dos valores abaixo se aproxima mais do percentual do volume do tumor original que restará após 5 meses de tratamento?

A) 29,6%
B) 30,0%
C) 30,4%
D) 30,8%
E) 31,4%

22) (UFMG 2008) Após se fazer uma promoção em um clube de dança, o número de frequentadores do sexo masculino aumentou de 60 para 84 e, apesar disso, o percentual da participação masculina passou de 30% para 24%. Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que o número de mulheres que frequentam esse clube, após a promoção, teve um aumento de:

A) 76%.
B) 81%.
C) 85%.
D) 90%

23) (UDESC 2010) No final do primeiro semestre deste ano, 40 acadêmicos participaram de uma pesquisa que objetivou analisar a frequência com que estes utilizaram o atendimento extraclasse do professor e/ou do monitor de uma determinada disciplina. Obteve-se o seguinte resultado: 20% dos acadêmicos procuraram atendimento tanto do professor quanto do monitor; 30% dos acadêmicos procuraram somente o atendimento do monitor; 15% dos acadêmicos não opinaram e 4 acadêmicos não procuraram atendimento do professor nem do monitor. Então o número de acadêmicos que procurou o atendimento somente do professor é igual a:

A) 24
B) 18
C) 8
D) 10
E) 20

24) (PUC-RIO 2007) 30% de 30% são:

A) 3000%.
B) 300%.
C) 900%
D) 9%.
E) 0,3%.

25) (PUC-RIO 2009) Em um viveiro há várias araras.

• N 60% das araras são azuis,
• N 40% das araras são vermelhas,
• N 40% das araras azuis têm bico branco,
• N 30% das araras vermelhas têm bico branco.

Que porcentagem das araras do viveiro tem bico branco?

A) 10%
B) 12%
C) 24%
D) 36%
E) 40%

26) (PUC-RIO 2010) Em uma turma de Ciências da Computação formada de 40rapazes e 40 moças, tem-se a seguinte estatística:20% dos rapazes são fumantes;30% das moças são fumantes.Logo, a porcentagem dos que não fumam na turma é de:

A) 25%
B) 50%
C) 60%
D) 65%
E) 75%

27) (CESGRANRIO-2011) Rômulo tem R$ 220,00, Natanael tem R$ 350,00 e Vitor nada tem. Rômulo e Natanael dão parte de seu dinheiro a Vitor, de forma que todos acabam ficando com a mesma quantia. O dinheiro dado por Natanael representa, aproximadamente, quantos por certo do aquele possuía?

a) 19,5%
b) 21,1%
c) 33,4%
d) 45,7%
e) 52,3% 

28) (VUNESP) Um investidor aplicou certa quantia em um fundo de ações. Nesse fundo, 1/3 das ações eram da empresa A, 1/2 eram da empresa B e as restantes, da empresa C. Em um ano, o valor das ações da empresa A aumentou 20%, o das ações da empresa B diminuiu 30% e o das ações da empresa C aumentou 17%. Em relação á quantia total aplicada, ao final desse ano, este investidor obteve:

a) lucro de 10,3%
b) lucro de 7,0%
c) prejuízo de 5,5%
d) prejuízo de 12,4%
e) prejuízo de 16,5% 

29) (PM-Louveira-Vunesp) Em um programa social desenvolvido pela prefeitura de um município, inscreveram-se 900 famílias carentes. A prefeitura começou implementar esse programa atendendo, no 1º mês 15% dessas famílias e, em cada mês seguinte, até o 3º mês, 30 famílias a mais que o mês imediatamente anterior. Após esses três meses, o programa já havia atendido, do total de famílias.

a) 21%
b) 40%
c) 45%
d) 52%
e) 55% 

30)  (MPU) Um clube está fazendo uma campanha, entre seus associados, para arrecadar fundos destinados a uma nova pintura na sede social. Contatados 60% dos associados verificou-se que havia atingido 75% da quantia necessária para a pintura, e que a contribuição média correspondia a R$ 60,00 por associado contatado. Então, para completar exatamente a quantia necessária para a pintura, a contribuição média por associado, entre os restantes associados ainda não contados, deve ser igual a:

a) R$ 25,00
b) R$ 30,00
c) R$ 40,00
d) R$ 50,00
e) R$ 60,00

31) (ENEM - 2010) Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir.

Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente?

A) 3 doses.
B) 4 doses.
C) 6 doses.
D) 8 doses.
E) 10 doses.

32) (ENEM - 2010) João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitasse esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado.

A opção que dá a João o menor gasto seria

A) renegociar suas dívidas com o banco.
B) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas.
C) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos.
D) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do cartão de crédito.
E) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do cheque especial.

33) (UFMG-2007) Um carro bicombustível percorre 8 km com um litro de álcool e 11 km com um litro do combustível constituído de 75% de gasolina e de 25% de álcool, composição adotada, atualmente, no Brasil.

Recentemente, o Governo brasileiro acenou para uma possível redução, nessa mistura, da porcentagem de álcool, que passaria a ser de 20%.

Suponha que o número de quilômetros que esse carro percorre com um litro dessa mistura varia linearmente de acordo com a proporção de álcool utilizada.

Então, é CORRETO afirmar que, se for utilizado um litro da nova mistura proposta pelo Governo, esse carro percorrerá um total de

A) 11,20 km .
B) 11,35 km .
C) 11,50 km .
D) 11,60 km .

34) (UFPE-2006) Segundo pesquisa recente, 7% da população brasileira é analfabeta, e 64% da população de analfabetos é do sexo masculino. Qual percentual da população brasileira é formada por analfabetos do sexo feminino?

A) 2,52%
B) 5,20%
C) 3,60%
D) 4,48%
E) 3,20%.

35) (UFPE-2001) O custo da cesta básica aumentou 1,03% em determinada semana. O aumento foi atribuído exclusivamente à variação do preço dos alimentos que subiram 1,41%. Qual o percentual de participação dos alimentos no cálculo da cesta básica (indique o valor mais próximo)?

A) 73%
B) 74%
C) 75%
D) 76%
E) 77%.

36) (FUVEST) Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20% respectivamente, a área do retângulo é aumentada de:

(A) 35% 
(B) 30% 
(C) 3,5% 
(D) 3,8% 
(E) 38%

37) Um trabalhador comprou uma bicicleta, conseguindo um abatimento de 10% sobre o preço marcado. Do valor a ser pago, 40% foi dado como entrada e o restante foi pago em 5 parcelas sem juros, no valor de R$ 41,04 cada. O valor do abatimento obtido foi

(A) R$ 32,00.
(B) R$ 35,00.
(C) R$ 38,00.
(D) R$ 40,00.
(E) R$ 42,00.

38) (UFSC) De uma excursão participam 280 pessoas, sendo que 40% do número de homens é igual a 30% do número de mulheres. O número de homens é: 

a) 208 
b) 120 
c) 180
d) 140
e) 210

39) (UFRS-2005) Uma pessoa gastava, em julho de 1994, apenas 100 reais para comprar o que, em julho de 2004, custava 270 reais. De acordo com essa informação, o percentual mais próximo da perda do poder de compra do real nesse período de 10 anos é o da alternativa

A) 37%       B) 63%     C) 80%      D) 170%       E) 270%

40) (IBMEC-2007) Uma mercadoria sofreu um aumento de (2x)%, sendo x um número positivo. Algum tempo depois, em uma promoção, ela foi vendida com desconto de x%. Se o total pago pelo cliente nessa ocasião foi igual ao preço da mercadoria praticado antes do aumento, o valor de x é aproximadamente

a) 33,3.
b) 41,4.
c) 50,0.
d) 66,7.
e) 100,0.

Gabarito:

11) 16%  12) C  13) C 14) E  15) D 16) D 17) 12  19) 60% 20) 25%  21) A  22) D  23) D  24) D  25) D   26) E  27) D  28) C  29) E  30) B  31) B  32) E  33) A  34) A  35) A  36) E  37) C  38) B  39) B  40) C

Equação do 1º grau com uma e duas incógnitas (com exercícios)

EQUAÇÃO DE 1° GRAU COM UMA INCÓGNITA

SENTENÇAS

Uma sentença matemática pode ser verdadeira ou falsa

exemplo de uma sentença verdadeira

a) 15 + 10 = 25

b) 2 . 5 = 10

exemplo de uma sentença falsa

a) 10 + 3 = 18

b) 3 . 7 = 20

SENTENÇAS ABERTAS E SENTENÇAS FECHADAS

Sentenças abertas são aquelas que possuem elementos desconhecidos. Esses elementos desconhecidos são chamados variáveis ou incógnitas.

exemplos

a) x + 4 = 9 (a variável é x)

b) x + y = 20 (as variáveis são x e y)

Sentenças fechada ou são aquelas que não possuem variáveis ou incógnitas.

a) 15 -5 = 10 (verdadeira)

b) 8 + 1 = 12 (falsa)

EQUAÇÕES

Equações são sentenças matemáticas abertas que apresentam o sinal de igualdade

exemplos

a) x - 3 = 13 ( a variável ou incógnita x)

b) 3y + 7 = 15 ( A variável ou incógnita é y)

A expressão à esquerdas do sinal = chama-se 1º membro

A expressão à direita do sinal do igual = chama-se 2º membro

Incógnitas e coeficientes

Em tempos remotos os valores desconhecidos de um determinado problema eram nomeados pelos árabes de xay e em outros casos, até mesmo por outros povos, a sua referência era feita através de figuras geométricas. Em dias atuais a nomenclatura utilizada para determinar o que se quer encontrar em problemas matemáticos é incógnita. Esta palavra deriva do latim incognitu que também significa coisa desconhecida.

A letra a ser usada para representar o valor desconhecido fica a critério do autor da questão, o que realmente importa é a facilitação do cálculo de equações com a introdução dessa ferramenta algébrica aliada a aritmética, a geometria e tantos outros ramos da matemática. Sendo assim, pode-se, ao invés do x, usar-se a, b, c, d,… z, etc.

Em linguagem matemática, se temos uma expressão do tipo 2x – 4 = 0 destacam-se:

• 2 e 4 são coeficientes – representam respectivamente fator e subtraendo da equação exemplificada;
• x é incógnita – valor desconhecido ao qual se está buscando encontrar;
• para x = 2 temos uma sentença verdadeira, ou seja, 2 . 2 – 4 = 0. Ao valor que substituído pela incógnita torna a sentença verdadeira dá-se o nome de raiz da equação. Nesse caso o algarismo 2 é a raiz da equação 2x – 4 = 0.

Exemplos

• 4x + 16 = 0,  4 e 16 são coeficientes, x é incógnita;
• n – 2 = 0,   1 e -2 são coeficientes (o desprezo do 1 não altera o equilíbrio da equação uma vez 1.n =n) e n é a incógnita;
• 1/3a – 5/3 = 0, 1/3 e 5/3  são coeficientes, a é a incógnita.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM UMA VARIÁVEL


O processo de resolução está baseado nas propriedades das igualdades

1º Propriedade

Podemos somar (ou subtrair) um mesmo número dos dois membros da igualdade, obtendo uma sentença equivalente.

exemplos:

a) Resolver x - 3 = 5
solução
x - 3 +3 = 5 + 3
x + 0 = 8
x = 8


b) resolver x + 2 = 7

solução
x+2 -2 = 7 - 2
x + 0 = 5
x = 5

Baseado nessa propriedade,podemos concluir que: pode-se passar um termo de um membro para outro e troca-se o sinal desse termo.

exemplos

a) x - 3 = 5

x = x + 3

x = 8


b) x + 2 = 7

x = 7 - 2

x = 5

2ª Propriedade

Podemos multiplicar (ou dividir) ambos os membros de uma igualdade por um número diferentes de zero, obtendo uma sentença equivalente.

Exemplo de resolução pelo modo prático

a) 3x =12

x = 12 /3

x = 4

b) x / 5 = 2

x = 2 . 5

x = 10

Importante !

Veja a equação -x = 5

interessa-nos valor de x e não o valor de -x então devemos multiplicar os dois membros da equação por -1

REGRA PRÁTICA PARA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Para resolver equação de 1° grau usaremos um método pratico seguindo o roteiro:

1) Isolar no 1° membro os termos em x e no 2° membro os termos que não apresentam x ( devemos trocar o sinal dos termos que mudam de membro para outro)

2) Reduzir os termos semelhantes

3) Dividir ambos os membros pelo coeficiente de x

Exemplos:

1) 4X – 4 = 2X + 8
4X- 2X = 8 + 4
2X = 12
X = 12/2
X = 6

2) 9X – 2 + 4 = 10 + 7X
9X – 7X = 10 + 2 – 4
9X – 7X = 10 + 2 – 4
2X = 8
X = 8/2
X= 4

3) 5(X + 2) =1
5X + 10 = 1
5X = 1 – 10
X = -9/5

4) 5(2x - 4) = 7 ( x + 1) – 3
10x – 20 = 7x + 7 -3
10x – 7x = 7 -3 + 20
3x = 24
x = 24/ 3
x = 8

5) x/3 + x/2 = 15
2x / 6 + 3x / 6 = 90 / 6
2x + 3x = 90
5x = 90
x = 90 / 5
x = 18

Equações de primeiro grau com duas variáveis

Considere a equação: 2x - 6 = 5 - 3y

   Trata-se  de  uma equação com duas variáveis,  x  e y,  pode ser  transformada  numa  equação  equivalente  mais simples. Assim:

            2x + 3y = 5 + 6

            2x + 3y = 11   ==> Equação do 1º grau na forma ax + by = c .

Denominando equação de 1º grau com duas variáveis, x e y, a toda equação que pode ser reproduzida à forma ax + by = c, sendo a e b números diferentes de zero, simultaneamente.

    Na equação ax + by = c, denominamos:

x + y  - variáveis ou incógnita a  -  coeficiente de x

b  -  coeficiente de y c  -  termo independente

    Exemplos:

x + y = 302x + 3y = 15 x - 4y = 10

-3x - 7y = -482x- 3y = 0 x - y = 8

   Solução de uma equação de 1º grau com duas variáveis

   Quais o valores de x e y que tornam a sentença  x - 2y = 4 verdadeira?

    Observe os pares abaixo:

    x = 6,  y = 1

x - 2y = 4 6 - 2 . 1 = 4 6 - 2 = 4 4 = 4  (V)

     x = 8,  y = 2

x - 2y = 4 8 - 2 . 2 = 4 8 - 4 = 4 4 = 4  (V)

    x = -2,  y = -3

x - 2y = 4 -2 - 2 . (-3) = 4 -2 + 6 = 4 4 = 4  (V)

   

     Verificamos que todos esses pares são soluções da equação x - 2y = 4.

    Assim, os pares (6, 1); (8, 2); (-2, -3) são algumas das soluções dessa equação.

    Uma equações do 1º grau com duas variáveis tem infinitas soluções - infinitos (x, y) - , sendo, portanto, seu conjunto universo .

    Podemos determinar essas soluções, atribuindo-se valores quaisquer para uma das variáveis, calculando a seguir o valor da outra. Exemplo:

• Determine uma solução para a equação 4x - 3y = 11.

            Atribuímos para x o valor 2, e calculamos o valor de y. Assim:

x = 2 


4 * 2 – 3y = 11 
8 – 3y = 11 
– 3y = 11 – 8 
– 3y = 3   (multiplicar por – 1) 
3y = – 3 
y = – 3/3 
y = – 1 


Estabelecendo x = 2, temos y = – 1, constituindo o par ordenado (2, –1). 

Resumindo:

Um par ordenado (r, s) é solução de uma equação ax + by = c (a e b não-nulos simultaneamente), se para x = r e y = s a sentença é verdadeira.

Exemplo 2 
Dada a equação x – 4y = –15, determine os pares ordenados obedecendo ao intervalo numérico –3 ≤ x ≤ 3. 

x = –3 
–3 – 4y = – 15 
– 4y = –15 + 3 
– 4y = – 12 
4y = 12 
y = 3 


x = – 2 
–2 – 4y = – 15 
– 4y = –15 + 2 
– 4y = – 13 
4y = 13 
y = 13/4 

x = – 1 
–1 – 4y = – 15 
– 4y = –15 + 1 
– 4y = – 14 
4y = 14 
y = 14/4 = 7/2 

x = 0 
0 – 4y = – 15 
– 4y = – 15 
4y = 15 
y = 15/4 

x = 1 
1 – 4y = – 15 
– 4y = – 15 – 1 
– 4y = – 16 
4y = 16 
y = 4 

x = 2 
2 – 4y = – 15 
– 4y = – 15 – 2 
– 4y = – 17 
4y = 17 
y = 17/4 


x = 3 
3 – 4y = – 15 
– 4y = – 15 – 3 
– 4y = – 18 
4y = 18 
y = 18/4 = 9/2 

Questões resolvidas sobre equação do 1º grau 

1) Resolva as seguintes equações

a) 3x = 15 (R=5)
b) 2x = 14 ( R=7)
c) 4x = -12 (R=-3)
d) 7x = -21 (R=-3)
e) 13x = 13 (R= 1)
f) 9x = -9 (R=-1)
g) 25x = 0 (R=0)
h) 35x = -105 (R=-3)
i) 4x = 1 (R=1/4)
j) 21 = 3x (R=7)
l) 84 = 6x (R=14)
m) x/3 =7 (R=21)
n) x/4 = -3 (R=-12)
o) 2x/5 = 4 (R=10)
p) 2x/3 = -10 (R=-15)
q) 3x/4 = 30 (R=40)
r) 2x/5 = -18 (R= -45)
s) x + 10 = 6x (R= 2)
t) x + 28 = 11 (R=-17)
u) x - 109 = 5 (R= 114)
v) x - 39 = -79 (R=-40)
x) 10x = x + 9 (R=1)

z) 2x = x + 20 (R= 20)

2)  7 é raiz da equação x + 2 = 4?

x + 2 = 4

x = 4 - 2

x = 2

3) Encontre o conjunto verdade da equação 6x = -20 + 4x?

6x - 4x = - 20

2x = - 20

x = -20/2

x = - 10

4) Qual é a raiz da equação 7x - 2 = -4x + 5?

Portanto:

⁷/₁₁ é a raiz da equação.

5) Nos itens que se seguem, determine duas soluções distintas para as equações:

a) 5x-2y=9

b) 

Resolução:

a) Vamos supor que x=0, substituindo na equação temos 5*0-2y=9, que é equivalente a -2y=9. Então, basta isolar a variável y, assim . Logo, uma solução é o par .
Agora, para encontrar outra solução, podemos supor y=0, após substituirmos na equação original temos 5x=9. Isolando a variável x, temos que . Portanto, outra solução seria o par 

b) Vamos supor que x=0, substituindo na equação temos . Então basta isolar a variável y, assim . Logo, uma solução é o par (x,y)=(0,2).
Agora, para encontrar outra solução, não podemos supor y=0, pois assim o denominador da segunda parcela seria zero, e não existe divisão por zero. Assim, vamos supor y=1, após substituirmos na equação original, temos . Isolando a variável x e fazendo a subtração, temos que . Portanto, outra solução seria o par 

6) Escreva duas equações distintas de 1º grau com duas incógnitas que apresentem como solução o ponto (3,4).

Resolução:

Para encontrar duas equações que tenha como solução o ponto (x,y)=(3,4), podemos operar x e y de diversas formas, por exemplo, somar as variáveis, assim temos x+y=3+4=7, então a primeira equação pode ser x+y=7. E para encontrar a segunda equação, podemos dobrar o valor de x e subtrair do triplo de y, assim temos 2x-3y=2*3-3*4=6-12=-6 e a segunda equação seria  2x-3y=-6. Note que podemos obter infinitas soluções seguindo esse raciocínio.

7) Resolva as equações abaixo em R.

       3x      x - 10          x + 1 

a)   ——— - ——— =  ————  

        2         8              4            

Resolução:  

 .

        8(3x)  2(x - 10)   4(x + 1)  

      ——— - ——— =  ———— 

        16        16            16   

 .

        8(3x)  -2(x - 10)  = 4(x + 1) 

   .                                            

           24x   - 2x + 20=  4x + 4 

.

              24x - 2x - 4x = 4- 20

.              

                     18x = - 16

.

                     x = - 16/18

.

                       x = - 8/ 9

 .

                         S = {-8/9}

      x + 6     2x - 3       x - 1 

b)   ——— - ——— =  ————  

        3          6             4              

 .

       4(x + 6)      2(2x - 3)      3(x - 1)  

      ————— - ————— =  ———— 

           12            12               12  

Resolução:

 .

    

 4(x + 6)  - 2(2x - 3)  =  3(x - 1)       

   .                                            

        4x + 24 - 4x + 6 = 3x - 3

.

        4x - 4x - 3x = - 3 - 24 - 6

.              

                 - 3x = - 33

.

                   3x =  33

.

                    x = 33/3

   .                     

                     x = 11

 .

                 S = {11}

8) (CFT-2005) Dois números reais x e y são tais que  e .Sabendo que x  -2 e y  -3, o valor de “y – x” é

a) 1.b) 2.
c) 3.
d) 4.

Problemas do 1º grau: aprenda com resolver

Chamamos problemas do 1º grau aqueles que são resolvidos por meio de uma equação do 1º grau. 

Na resolução de problemas, você deve:

a) Representar a incógnita do problema por uma letra.

b) Armar a equação do problema.

c) Resolver a equação 

d) verificar se a solução satisfaz as condições do problema.


Exemplo 1

O triplo de um número, diminuído de 12 é igual a 33. Qual é esse número 

solução:

Triplo de um número === 3x

Diminuido de 12 ======3x -12

é igual a 33 =========3x - 12 = 33

Resolução

3x - 12 = 33

3x = 33 + 12

3x = 45

x = 45 / 3

x = 15 

Resposta: O número procurado é 15


Exemplo 2

Um número somado com o seu dobro é igual a 21. Qual é esse número

Solução:

Um número -----------------------x

Somado com seu dobro--------- x + 2x

é igual a 21 -----------------------x  + 2x = 21


Resolução:

 x + 2x = 21

3x = 21

x = 21 / 3 

x = 7 


Resposta: O número procurado é 7.

Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveis

Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções.

Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x, y).

Dispondo de dois pares ordenados de um equação, podemos representá-los graficamente num plano cartesiano, determinando, através da reta que os une, o conjunto das solução dessa equação. Exemplo:

Construir um gráfico da equação x + y  = 4.

Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam  essa equação.

1º par: A (4, 0)

2º par: B (0, 4)

A seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano.

x y 4 0 0 4

Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta  r, que contém todos os pontos soluções da equação.

A reta  r é chamada  reta suporte do gráfico da equação.

Fontes: 

http://jmpmat22.blogspot.com.br/
http://www.mundovestibular.com.br/articles/57/1/EQUACOES-DO-PRIMEIRO-GRAU/Paacutegina1.html

Exercícios resolvidos e propostos sobre problemas do 1º grau 

1) O volume de chuvas na minha região foi de 30 ml nos dois últimos dias. Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje. Qual foi o volume de chuva de hoje?

Resolução:

Chamemos de v o volume da chuva hoje.

Do enunciando tiramos que 2v corresponde ao volume de chuva de ontem, assim como 30 é o volume total. Podemos então montar à seguinte equação:

Somando os termos do primeiro membro temos:

Passando o 3 para o outro lado, como divisor já que ele é um multiplicador:

Ao dividirmos:

Portanto:

O volume de chuva de hoje foi de 10 ml.

2) A soma da minha idade, com a idade de meu irmão que é 7 anos mais velho que eu dá 37 anos. Quantos anos eu tenho de idade?

Resolução:

Partamos do princípio que a minha idade seja igual a x. Como o meu irmão tem 7 anos a mais que eu, então ele tem x + 7 anos de idade. Como a soma das idades é de 37 anos, podemos escrever a seguinte sentença:

Ou seja:

Passando para o outro lado o 7 como subtraindo, já que ele se encontra adicionando no primeiro membro, temos:

Realizando a subtração:

Passando o multiplicador 2 para a direita como divisor:

Que dividindo dá:

Portanto:

Eu tenho 15 anos de idade.

3) O triplo de um número, mais 5, é igual a 254. Qual é esse número?

Resolução:

3p + 5 = 254

3p = 254 - 5

3p = 249

p = 249/3

p = 83

Resposta: Esse número é 83.

4) Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número?

Resolução:

n + n/2 = 150

2n/2 + n/2 = 300/2

2n + n = 300

3n = 300

n = 300/3

n = 100

Resposta: Esse número é 100.

5) Em um concurso os participantes devem responder a um total de 20 questões. Para cada resposta correta o candidato ganha 3 pontos e para cada resposta errada perde 2 pontos. Determine o número de acertos e erros que um candidato obteve considerando que ele totalizou 35 pontos. 

Resolução:

Acertos: representados pela letra x.
Erros: representados por 20 − x.
Portanto:
3 * x – 2 * (20 – x) = 35
3x – 40 + 2x = 35
5x = 35 + 40
5x = 75
x = 75/5
x = 15

O candidato obteve 15 acertos e 5 erros.
 

6) (ENEM/2010) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado.

Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado).

Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre

a) 4,0 m e 5,0 m.
b) 5,0 m e 6,0 m.
c) 6,0 m e 7,0 m.
d) 7,0 m e 8,0 m.
e) 8,0 m e 9,0 m.

Resolução:

Fazendo-se as considerações que:
- o alcance do segundo salto é 1,2 m menor que do primeiro salto
- o alcance do terceiro salto é 1,5 m menor que do segundo salto
- a distância alcançada no primeiro salto é x

Logo, para atingir a meta de 17,4 m, tem-se:
x + (x – 1,2) + (x – 1,2 – 1,5) = 17,4 ⇔3x = 21,3 ⇔ x = 7,1
Letra: D

 

7) (UNIRIO - RJ) Um grupo de amigos vai acampar num final de semana. Sabendo-se que numa certa hora da manhã de domingo, o equivalente a um terço desse grupo está envolvido com o preparo do almoço, o equivalente à metade do grupo cuida da limpeza do acampamento, o equivalente à décima parte desses dois subgrupos colhe flores nas redondezas e um elemento do grupo deleita-se com um livro de crônicas de Zuenir Ventura, quantos elementos tem esse grupo de amigos?

Resolução:

Considerando:

X - a parte do grupo envolvida com o preparo do almoço
Y - a parte do grupo que cuida da limpeza do acampamento
Z - a parte do grupo que colhe flores
V - total do grupo

Então, sabemos:
X = 1/3 V
Y = 1/2 V
Z = 1/10 (X + Y)
V = X + Y + Z + 1

(Este 1 é o elemento do grupo que está a ler)

Agora é só substituir.

V = 1/3 V + 1/2 V + 1/10 [ (1/3 V) + (1/2 V) ] + 1
V = 1/3 V + 1/2 V + 1/30 V + 1/20 V + 1 (reduzindo os termos com "V" ao mesmo denominador)
V = 20/60 V + 30/60 V + 2/60 V + 3/60 V + 1
V = 55/60 V + 1
V - 55/60V = 1 (reduzindo novamente os termos com "V" ao mesmo denominador)
60/60 V - 55/60V =1
5/60 V = 1
5 V = 60
V = 60/5

V = 12

8) Hoje, A soma das idade de um pai e um filho é 52 anos; mas há 10 anos, a idade do pai era 15 vezes a idade do filho. Determine essas idades.

Resolução:

Dados:

x=idade do pai

y=idade do filho

Organizando dados:

x+y=52 [equação 1]

x-10=15*(y-10) [Equação 2]

Pela equação 1, temos:

x+y=52

x=52-y

Substituindo na equação 2, temos:

(52-y)-10=15*(y-10)

52-10-y=15y-150

42+150=16y

16y=192

y=12 anos

Substituindo y por 12, na equação 1, temos:

x=52-12

x=40 anos

Resposta:

Pai=40 anos

Filho=12 anos

9) Num campeonato de futebol, os dois melhores artilheiros pertencem ao mesmo time vencedor. Durante o campeonato, só esses dois jogadores marcaram 32 gols. Se o segundo artilheiro marcou um terço do número de gols do primeiro, quantos gols marcou cada jogador?

Resolução:

1o. jogador --> x
2o. jogador --> y

eles juntos marcaram 32, entao x+y = 32
o 2o. marcou 1/3 do 1o. , tenao y = x/3

isolando x na 2a. equaçao, fica x = 3y

volte na 1a. e troque x por 3y

3y + y = 32
4y = 32
y = 8

x = 3y
x = 3.8
x = 24

o 1o. jogador marcou 24 gols e o segundo 8 gols.

10) A quantia de R$ 2100,00 foi distribuída entre quatro pessoas do seguinte modo : a segunda recebeu metade do que recebeu a primeira; a terceira recebeu metade da soma do que recebeu a primeira com a segunda; a quarta , metade da terceira.Quanto recebeu a segunda pessoa?

Resolução:

Nesta questão, vamos chamar de x a quantia que a 2° pessoa recebeu. Agora é só você ler com calma e ir escrevendo cada uma. Como a 2° recebeu metade da 1°, então a 1° recebeu 2x. Como a 3° recebeu a metade da soma da 1° com a 2°, então ela recebeu (2x+x)/2, ou seja, 3x/2. Como a 4° recebeu metade da 3°, então recebeu 3x/4.
Resumindo:

1°: 2x

2°: x

3°: 3x/2

4°: 3x/4

 A soma das quantias que cada um recebeu tem que ser 2100, certo? Então 2x+x+3x/2+3x/4=2100 -> x=400

11) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal?

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7

12) Em uma festa de aniversário cada convidado deveria receber o mesmo número de chocolates. Três convidados mais apressados se adiantaram e o primeiro comeu 2, o segundo 3 e o terceiro 4 chocolates além dos que lhe eram devidos, resultando no consumo de metade dos chocolates da festa. Os demais chocolates foram divididos igualmente entre os demais convidados e cada um recebeu um a menos do que lhe era devido.
Quantos foram os chocolates distribuídos na festa?

a) 20
b) 24
c) 28
d) 32
e) 36

13) As pessoas A, B, C e D possuem juntas R$2.718,00. Se A tivesse o dobro do que tem, B tivesse a metade do que tem, C tivesse R$10,00 a mais do que tem e, finalmente, D tivesse R$10,00 a menos do que tem então todos teriam a mesma importância. Quanto possui cada uma das quatro pessoas?

14) (Fuvest) Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de final de ano, devendo cada um contribuir com R$135,00 para as despesas. Como 7 alunos deixaram a escola antes da arrecadação e as despesas permaneceram as mesmas, cada um dos estudantes restantes teria de pagar R$27,00 a mais. No entanto, o diretor, para ajudar, colaborou com R$630,00. Quanto pagou cada aluno participante da festa?

a) R$136,00    b) R$138,00   c) R$140,00    d) R$142,00  e) R$144,00

15) (PUC-SP) Em um concurso os participantes devem responder a um total de 20 questões. Para cada resposta correta o candidato ganha 3 pontos e para cada resposta errada perde 2 pontos. Determine o número de acertos e erros que um candidato obteve considerando que ele totalizou 35 pontos. 

16) Ao alugar um carro por um dia, Marcos fez o seguinte contrato: R$ 50,00 a diária mais R$ 0,50 por km. Ao entregar o carro Marcos pagou R$ 150,00. Quantos km ele andou?

17) (CESD-2008) Ao distribuir R$ 80,00 entre duas meninas, de modo que a mais nova receba R$ 16,00 a menos que a mais velha, a quantia dada à mais velha será um valor múltiplo de R$

a) 9,00.
b) 7,00.
c) 5,00.
d) 4,00.

18) Três amigos M, N e P têm juntos R$ 1.054,00. Se M tivesse o dobro do que tem, N tivesse a metade do que tem e P tivesse  R$ 10,00 a mais do que tem, então todos teriam a mesma importância. Quantos reais possui N?

a) 152
b) 294
c)  608
d)  304

19) A idade de uma pessoa é hoje o triplo da idade da outra e daqui a 11 anos será o dobro. A soma de suas idades atuais é:

a) 18
b) 36
c) 48
d) 44

20) Para cercar um terreno retangular de 50 m de comprimento, será feita uma porteira de madeira de 3m de extensão e uma cerca com 5 fios de arame. Se a medida da largura desse terreno é igual a dois quintos da do comprimento, então o número de metros de arame necessário será:

a) 700.                   
b) 685.                   
c) 557.                   
d) 535.

21) Uma pasto retangular de 79,15 m de comprimento e de 4125 cm de largura será cercado com 3 voltas de arame. Se cada rolo de arame tem 120,4 m, então serão necessários ________ rolos.

a) 6
b) 12
c) 9
d) 5

22) O triplo de um número, diminuído de 12, é igual a 33. Qual é esse número? 

Gabarito:

11) E  12) E  13) A pessoa A possui R$ 302,00; B possui R$ 1208,00; C possui R$ 594,00 e a pessoa D, R$ 614,00.  14) E  15)  15 acertos e 5 erros   16) 200 km  17) D  18) C  19) D
20) B  21) A  22) 15