Prismas - definição
Prismas - Nomenclatura e Classificação
Os prismas recebem nomes de acordo com os polígonos das bases.
Assim,
• um prisma é triangular quando suas bases são triângulos;
• um prisma é quadrangular quando suas bases são quadriláteros;
• um prisma é pentagonal quando suas bases são pentagonais;
• um prisma é hexagonal quando suas bases são hexagonais.
Quando as arestas laterais de um prisma forem perpendiculares aos planos das bases, o prisma é chamado de reto; caso contrário, de oblíquo.
Os prismas retos cujas bases são polígonos regulares são chamados de prismas regulares.
Exemplos
Prismas regulares
Cubo
Cubo- Definição e Elementos
Cubo é um prisma em que todas as faces são quadradas. O cubo é um prisma quadrangular regular cuja altura é igual à medida da aresta da base.
O cubo da figura tem arestas de medida l então,
• as diagonais de suas faces medem l
, pois são diagonais de quadrados de lados com medidas iguais a l.
• as diagonais do cubo medem l Raiz cúbica , pois:
Assim:
Área TotalA área de um quadrado de lado l é l 2, então a área A da superfície de um cubo de aresta l é:
Paralelepípedos - Definição
Chamamos de paralelepípedo o prisma cujas bases são paralelogramos; dessa forma, todas as faces de um paralelepípedo são paralelogramos.
Exemplos
Paralelepípedo Reto Retângulo
Diagonais de um paralelepípedo retângulo
No paralelepípedo da figura com dimensões a, b e c, sejam d1 e d, as diagonais da face ABCD e do paralelepípedo, respectivamente.
No triângulo ABC, temos:
AC2 = AB2 + BC2
ou então,
No triângulo ACG, temos:
AG2 = AC2 + CG2
ou então,
Como
, temos:
d2 = a2 + c2 + b2 ou
Área total (AT) de um
paralelepípedo retângulo
Sendo a, b e c as dimensões de um paralelepípedo retângulo, as áreas de cada par de faces opostas são: ab, ac e bc.
Assim,
Ou
Volume (V) de um paralelepípedo retângulo
Sendo a, b e c as dimensões do paralelepípedo retângulo, temos:
Área e Volume de Prismas Regulares
Sabemos que um prisma é chamado de regular quando é reto e tem base regular.
Vamos calcular a área e o volume dos principais prismas regulares:
Prisma Triangular Regular
Consideremos um prisma triangular regular com aresta da base a e altura h.
Área da base (B)
Área lateral (AL)AL = 3 • A face lateral
AL = 3 • (ah)= 3 ah
Área total (AT)
AT = AL + 2B
Volume (V)
V = S . h
V = B • h
Prisma Hexagonal Regular
Consideremos um prisma hexagonal regular com aresta da base a e altura h.
Área da Base (B)
Área lateral (AL)
AL = 6 • Aface lateral
AL = 6 (ah) = 6 ah
Área total (AT)
AT = AL + 2B
Volume (V)
V = B • h
Questões resolvidas de vestibulares sobre Prismas
1) Um prisma de base quadrangular possui volume igual a 192 cm³. Determine sua altura sabendo que ela corresponde ao triplo da medida da aresta da base.
Solução:
Aresta da base: x cm
Altura: 3x cm
Volume: 192
V = x * x * 3x
3x³ = 192
x³ = 192/3
x³ = 64
x = 4
Altura: 3 * 4 = 12 cm
A altura do prisma de base é correspondente a 121 cm.
Altura: 3x cm
Volume: 192
V = x * x * 3x
3x³ = 192
x³ = 192/3
x³ = 64
x = 4
Altura: 3 * 4 = 12 cm
A altura do prisma de base é correspondente a 121 cm.
2) Um prisma reto tem por base um triângulo isósceles de 8cm de base por 3cm de altura. Sabendo que a altura do prisma é igual a 1/3 do perímetro da base, calcule sua superfície total.
Solução:
No triângulo isósceles a altura também é mediana.
a) a área de uma face lateral.
b) a área lateral.
c) a área total.
Solução:
a) Af = (6.10) cm²
Af = 60 cm²
b) A área lateral AL é a soma das áreas das três fases laterais, isto é:
AL = 3 . Af
AL = 3 . 60 cm²
AL = 180 cm²
c) A área total At é a soma da área lateral AL com duas vezes a área B de uma base, isto é:
At = AL + 2B
At = (180 + 18 √3) cm²
Solução:
A área lateral é a soma das cinco áreas dos retângulos que são as faces laterais. Como a base é regular, todas as arestas possuem a mesma medida. Logo, temos:
i) Área de uma face: 4 x 20 = 80cm2
ii) Área lateral: 5 x (80cm2) = 400cm2.
7) Um prisma quadrangular regular tem sua aresta da base medindo 6m. Sabendo que a área lateral do prisma mede 216m², calcule sua altura.
Solução:
Se o prisma é regular então suas bases são quadradas. A área lateral é a soma das áreas das quatro faces. Temos:
216 = 4x6xh
h =216/24 h = 9
8) Um prisma reto tem por base um triângulo isósceles de 8cm de base por 3cm de altura. Sabendo que a altura do prisma é igual a 1/3 do perímetro da base, calcule sua superfície total.
A área total de um hexágono regular vale o sêxtuplo da área do triângulo equilátero.
i) Pela relação de Pitágoras temos:
logo a = 5cm
ii) O perímetro da base vale: 5cm + 5cm + 8cm = 18cm
iii) A altura do prisma vale
1/3 x 18 = 6cm
iv) área total
Ab = 8 x 3 /2 = 12cm²
Al = (8x6)+2 x (5x6) = 108cm²
At= 2x 12 + 108= 132cm²
logo a = 5cm
ii) O perímetro da base vale: 5cm + 5cm + 8cm = 18cm
iii) A altura do prisma vale
1/3 x 18 = 6cm
iv) área total
Ab = 8 x 3 /2 = 12cm²
Al = (8x6)+2 x (5x6) = 108cm²
At= 2x 12 + 108= 132cm²
3) Em um prisma regular triangular, cada aresta lateral mede 10 cm e cada aresta da base mede 6 cm. Calcular desse Prisma:
a) a área de uma face lateral.
b) a área lateral.
c) a área total.
Solução:
a) Af = (6.10) cm²
Af = 60 cm²
b) A área lateral AL é a soma das áreas das três fases laterais, isto é:
AL = 3 . Af
AL = 3 . 60 cm²
AL = 180 cm²
c) A área total At é a soma da área lateral AL com duas vezes a área B de uma base, isto é:
At = AL + 2B
At = (180 + 18 √3) cm²
4) Em uma piscina regular hexagonal cada aresta lateral mede 8 dm e cada aresta da base mede 4 dm. Calcule, desses prisma:
a) a área de cada face lateral;
b) a área de uma base;
c) a área lateral;
d) a área total;
Solução:
a) Af = b . h
Af = 4 .8
Af = 32 dm²
b) Ab = (6.10 √3) / 4
Ab = 24 √3 dm²
c) AL = 6.4.8
AL = 192 dm²
d) At = 2.24 √3 +192
At = 48 √3 + 192 dm²
a) a área de cada face lateral;
b) a área de uma base;
c) a área lateral;
d) a área total;
Solução:
a) Af = b . h
Af = 4 .8
Af = 32 dm²
b) Ab = (6.10 √3) / 4
Ab = 24 √3 dm²
c) AL = 6.4.8
AL = 192 dm²
d) At = 2.24 √3 +192
At = 48 √3 + 192 dm²
5) (PUC-SP) Um tanque de uso industrial tem a forma de um prisma cuja base é um trapézio isósceles. Na figura a seguir, são dadas as dimensões do prisma em metros:
O volume desse tanque em metros cúbicos é:
a) 50
b) 60
|
c) 80
d) 100
|
e) 120
|
Solução:
a = cateto do triângulo retângulo formado com a altura do trapézio isósceles.
a = cateto do triângulo retângulo formado com a altura do trapézio isósceles.
a=(8-2)/2⇒a=3
h = altura do triângulo.
h²+3²=5²⇒h²=16⇒h=4
A_b = área da base do prisma (tanque)
h = altura do triângulo.
h²+3²=5²⇒h²=16⇒h=4
A_b = área da base do prisma (tanque)
A_b=(8+2)4/2⇒A_b=20
V = volume do prisma
V = volume do prisma
V=20*5⇒V=100
Resposta = d)
6) Um prisma pentagonal regular tem 20cm de altura. A aresta da base mede 4cm. Determine sua área lateral.
Solução:
A área lateral é a soma das cinco áreas dos retângulos que são as faces laterais. Como a base é regular, todas as arestas possuem a mesma medida. Logo, temos:
i) Área de uma face: 4 x 20 = 80cm2
ii) Área lateral: 5 x (80cm2) = 400cm2.
7) Um prisma quadrangular regular tem sua aresta da base medindo 6m. Sabendo que a área lateral do prisma mede 216m², calcule sua altura.
Solução:
Se o prisma é regular então suas bases são quadradas. A área lateral é a soma das áreas das quatro faces. Temos:
216 = 4x6xh
h =216/24 h = 9
8) Um prisma reto tem por base um triângulo isósceles de 8cm de base por 3cm de altura. Sabendo que a altura do prisma é igual a 1/3 do perímetro da base, calcule sua superfície total.
Solução:
No triângulo isósceles a altura também é mediana.
i) Pela relação de Pitágoras temos:
logo a = 5cm
ii) O perímetro da base vale: 5cm + 5cm + 8cm = 18cm
iii) A altura do prisma vale
1/3 x 18 = 6cm
iv) área total
Ab = 8 x 3 /2 = 12cm²
Al = (8x6)+2 x (5x6) = 108cm²
At= 2x 12 + 108= 132cm²
9) Calcule a área total de um prisma reto, de 10 cm de altura, cuja base é um hexágono regular de 6cm de lado.
Solução:
Temos: .
Ab =6x (6²x ṛaiz quadrada de3)/4 = 93,5
Al = 6x6x10 = 360
At = 2 x93,5 +360 = 547cm²
10) Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume de um prisma cuja a altura mede 15cm e seus catetos, 9cm e 12cm. Confira a resposta aqui...
Solução:Área da Base
Basta calcular a área do triângulo da base:
Área Lateral
Basta multiplicar o valor das arestas do triângulo (base) pela altura do prisma.Nota: Devemos descobrir o valor do outro “Canto” do triângulo, usando o Teorema de Pitágoras:
Área Total
Basta multiplicar a área da base por 2 e somar o resultado com a Área lateral. Veja:
Volume
É somente a área da base multiplicada pela altura do prisma. Veja:
11) A área total de um prisma é a soma de todas as áreas de suas faces laterais com as áreas das bases. Determine a área total e o volume de um prisma reto triangular de altura igual a 12 cm e cuja base é um triângulo retângulo de catetos 6cm e 8cm.
SOLUÇÃO:
Observe que o sólido abaixo tem 6 vértices, 5 faces (3 retângulos e 2 triângulos) e 9 arestas. Este sólido geométrico é chamado prisma triangular porque as suas bases são triângulos.
Como o triângulo da base é retângulo, a área da base é a metade do produto dos catetos, ou seja,
Ab = 6 × 8 / 2 = 24 cm2.
Pelo Teorema de Pitágoras temos que: a2 = 62 + 82 = 100 , onde a é a hipotenusa. Como a raiz quadrada de 100 é 10, segue que a = 10 cm.
Assim, as áreas das outras faces são:
área1 = 6 × 12 = 72 cm2 ; área2 = 8 ×12 = 96 cm2 ; área3 = 10 × 12 = 120.
Logo a área total = 24 + 24 + 72 + 96 + 120 = 336 cm2.
Como o volume é o produto da área da base pela altura, segue que V = 24 × 12 = 288 cm3.
12) (Mackenzie-SP 2000) Se a soma dos ângulos internos de todas as faces de um prisma é 6 480°, então o número de lados da base do prisma é
a) 8 d) 12
b) 9 e) 15
c) 10
Solução:
Sendo n o número de lados da base do prisma, então este possui n faces laterais quadrangulares e duas faces que são polígonos de n lados. Portanto, a soma dos ângulos internos de todas as sua faces é
n • 360° + 2 • (n – 2) • 180°
Conseqüentemente,
n • 360° + 2 • (n – 2) • 180° = 6 480° n = 10
Pelo Teorema de Pitágoras temos que: a2 = 62 + 82 = 100 , onde a é a hipotenusa. Como a raiz quadrada de 100 é 10, segue que a = 10 cm.
Assim, as áreas das outras faces são:
área1 = 6 × 12 = 72 cm2 ; área2 = 8 ×12 = 96 cm2 ; área3 = 10 × 12 = 120.
Logo a área total = 24 + 24 + 72 + 96 + 120 = 336 cm2.
Como o volume é o produto da área da base pela altura, segue que V = 24 × 12 = 288 cm3.
12) (Mackenzie-SP 2000) Se a soma dos ângulos internos de todas as faces de um prisma é 6 480°, então o número de lados da base do prisma é
a) 8 d) 12
b) 9 e) 15
c) 10
Solução:
Sendo n o número de lados da base do prisma, então este possui n faces laterais quadrangulares e duas faces que são polígonos de n lados. Portanto, a soma dos ângulos internos de todas as sua faces é
n • 360° + 2 • (n – 2) • 180°
Conseqüentemente,
n • 360° + 2 • (n – 2) • 180° = 6 480° n = 10
