POLIEDROS
Poliedros são figuras geométricas formadas por três elementos básicos: vértices, arestas e faces. Um poliedro é considerado regular quando suas faces são polígonos regulares e congruentes.
Dentre os poliedros existentes, existem alguns considerados Poliedros de Platão, pois todas as faces possuem o mesmo número de arestas, todos os ângulos poliédricos possuem o mesmo número de arestas e se enquadram na relação de Euler. Os Poliedros considerados de Platão são:
Tetraedro, Hexaedro (cubo), Octaedro, Dodecaedro, Icosaedro.
Relação de Euler
A fórmula de Euler está atribuída à relação de dependência entre os elementos de um poliedro. A expressão matemática desenvolvida por Leonhard Euler, matemático suíço, é a seguinte: V – A + F = 2. Onde:
V = vértice
A = arestas
F = Faces
Essa expressão determina o número de faces, arestas e vértices de qualquer poliedro.
A fórmula de Euler está atribuída à relação de dependência entre os elementos de um poliedro. A expressão matemática desenvolvida por Leonhard Euler, matemático suíço, é a seguinte: V – A + F = 2. Onde:
V = vértice
A = arestas
F = Faces
Essa expressão determina o número de faces, arestas e vértices de qualquer poliedro.
Exemplo da relação de Euler
Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura.
Solução:
Temos que o número de vértices é igual a 20 → V = 20
As arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir por dois o número total de arestas. Veja:
De acordo com a relação de Euler, temos que:
F + V = A + 2
F + 20 = 50 + 2
F = 52 – 20
F = 32
F + 20 = 50 + 2
F = 52 – 20
F = 32
O poliedro em questão possui 32 faces.
Poliedros convexos
Um poliedro é chamado convexo, em relação a uma de suas faces, se está todo contido no mesmo semi-espaço determinado por esta mesma face. Complicado? Vamos entender melhor isso!
Considere um poliedro e uma de suas faces: um octaedro, por exemplo. Imagine um plano apoiado nessa face. O poliedro ficou todo de um lado só desse plano? Então ele é convexo! Veja:
Abaixo, veja mais exemplos de poliedros convexos e suas planificações:
Os nomes dos poliedros convexos dependem do número de faces:
Tetraedro = Quatro faces
Pentaedro = Cinco faces
Hexaedro = Seis faces
Heptaedro = Sete faces
Octaedro = Oito faces
Decaedro = Dez faces
Dodecaedro = Doze faces
Icosaedro = Vinte faces
Vamos lembrar o conceito de polígono regular: aquele em que todos os lados são congruentes (iguais) e todos os ângulos são também congruentes.
Então, um poliedro é regular se suas faces são polígonos regulares, todos com o mesmo número de lados e, em cada vértice do poliedro, encontram-se (convergem) sempre o mesmo número de arestas.
Existem apenas cinco poliedros regulares:
Fontes: http://educacao.uol.com.br/matematica/poliedro.jhtm
10) Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a 2/3 do número de arestas, e o número de faces é três unidades menos que o de vértices. Calcule o número de faces, de vértices e arestas desse poliedro.
Considere um poliedro e uma de suas faces: um octaedro, por exemplo. Imagine um plano apoiado nessa face. O poliedro ficou todo de um lado só desse plano? Então ele é convexo! Veja:
Poliedro convexo |
Poliedro não convexo |
Abaixo, veja mais exemplos de poliedros convexos e suas planificações:
Os nomes dos poliedros convexos dependem do número de faces:
Poliedros Regulares
Então, um poliedro é regular se suas faces são polígonos regulares, todos com o mesmo número de lados e, em cada vértice do poliedro, encontram-se (convergem) sempre o mesmo número de arestas.
Existem apenas cinco poliedros regulares:
Poliedro regular convexo | Cada face é um | Faces (F) | Vértices (V) | Arestas (A) | Ângulos entre as arestas (m) |
---|---|---|---|---|---|
Tetraedro | triângulo equilátero | 4 | 4 | 6 | 12 |
Hexaedro | quadrado | 6 | 8 | 12 | 24 |
Octaedro | triângulo equilátero | 8 | 6 | 12 | 24 |
Dodecaedro | pentágono regular | 12 | 20 | 30 | 60 |
Isocaedro | triângulo equilátero | 20 | 12 | 30 | 60 |
Soma dos ângulos de um poliedro - Fórmula e Exemplos resolvidos
Para realizar a soma(S) das medidas dos ângulos das faces de um poliedro convexo utilizamos a seguinte formula/relação:
S = 360°.(V-2)
Onde S é a soma das medidas dos ângulos e V o número de Vértices.
É muito importante saber e lembrar dessa fórmula da soma dos ângulos, afinal é com ela que em alguns exercícios podemos chegar a valores dos vértices, para assim poder aplicar o teorema de Euler que aprendemos anteriormente.
E afim de não deixar o conteúdo muito extenso, não vamos entrar em maiores detalhes a respeito de como chegar nessa relação, por isso vamos diretamente para a prática, pois é fazendo exercícios e treinando que aprendemos e fixamos o conteúdo.
Exs:
1) Qual a quantidade de vértices de um poliedro convexo onde a soma das medidas das suas faces é 2880° ?
1) Qual a quantidade de vértices de um poliedro convexo onde a soma das medidas das suas faces é 2880° ?
Como a formula da soma dos ângulos diz que S = 360°.(V-2), basta realizar as devidas substituições:
2880 = 360 . (V-2) => (V-2) = 2880/360 => V-2=8 => V=10
Ou seja, a quantidade de vértices desse poliedro é 10 !
2) Qual a soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo de 8 vértices?
S = 360°.(V-2)
S = 360.(8-2) => 360.6 => 2160°
O resultado da soma dos ângulos desse poliedro convexo é 2160°.
Fontes: http://educacao.uol.com.br/matematica/poliedro.jhtm
http://www.brasilescola.com/matematica/poliedros.htm
Questões resolvidas sobre Poliedros e relação de Euler
Questões resolvidas sobre Poliedros e relação de Euler
1) (Fatec - SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro?
Solução:
Do enunciado, sabemos que
Número de faces: 3 + 2 + 4 = 9
Número de arestas:
3 faces com 4 lados: 3 . 4 = 12
2 faces com 3 lados: 2 . 3 = 6
4 faces com 5 lados: 4 . 5 = 20
Somando: 12 + 6 + 20 = 38
Atenção: as faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Ao contarmos todas as arestas de todas as faces, cada aresta é contada duas vezes, uma para cada face "grudada" nela. Assim, esse número, na verdade, é o dobro do número real de arestas do poliedro. Logo:
A = 38 ÷ 2 = 19.
Usando, agora, a Relação de Euler, temos:
V + F = 2 + A
V + 9 = 2 + 19
V = 21 - 9 = 12.
Essa é a Relação de Euler para poliedros convexos:
4) (ITA-SP) Numa superfície poliédrica convexa aberta, o número de faces é 6 e o número de vértices é 8. Então o número de arestas é: (O que é uma superfície poliédrica convexa aberta?!)
SOLUÇÃO:
Sabemos que sendo dado um poliedro de V vértices, F faces e A arestas, vale a célebre relação de Euler:
V + F = A + 2
8) (UF-AM) O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro?
Solução:
Do enunciado, sabemos que
Número de faces: 3 + 2 + 4 = 9
Número de arestas:
3 faces com 4 lados: 3 . 4 = 12
2 faces com 3 lados: 2 . 3 = 6
4 faces com 5 lados: 4 . 5 = 20
Somando: 12 + 6 + 20 = 38
Atenção: as faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Ao contarmos todas as arestas de todas as faces, cada aresta é contada duas vezes, uma para cada face "grudada" nela. Assim, esse número, na verdade, é o dobro do número real de arestas do poliedro. Logo:
A = 38 ÷ 2 = 19.
Usando, agora, a Relação de Euler, temos:
V + F = 2 + A
V + 9 = 2 + 19
V = 21 - 9 = 12.
2) Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro?
Solução:
Como o poliedro tem 12 faces pentagonais, então:
12 . 5 = 60
O poliedro tem 20 faces hexagonais, assim 20 . 6 = 120, logo: F = 12 + 20 = 32
Cada aresta foi contada duas vezes, portanto temos:
2A = 60 + 120
A = 90
A = 90
Como o poliedro é convexo, vale a relação de Euler,
V – A + F = 2, portanto:
V – 90 + 32 =2
V = 2 + 90 – 32
V = 60
V = 2 + 90 – 32
V = 60
Assim, o número de vértices é 60.
3) (FAAP - SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.
Solução:
De acordo com o enunciado, temos:
A = V + 6
Usando a Relação de Euler e substituindo A de acordo com a igualdade acima:
V + F = 2 + A
V + F = 2 + V + 6
Eliminando V:
F = 8
O número de faces é igual a 8.
A = V + 6
Usando a Relação de Euler e substituindo A de acordo com a igualdade acima:
V + F = 2 + A
V + F = 2 + V + 6
Eliminando V:
F = 8
O número de faces é igual a 8.
a-) 8 b-) 11 c-) 12 d-) 13 e-) 14
Solução:
Nesta questão é só utilizar a fórmula V+F=A+1
8+6=A+1
A = 13
5) (MACK-SP) Um poliedro convexo tem 15 faces. De dois de seus vértices partem 5 arestas, de quatro outros partem 4 arestas e dos restantes partem 3 arestas. O número de arestas do poliedro é:
a-)75 b-)53 c-)31 d-)45 e-)25
Solução:
É dado que F=15, portanto: V +15 = A + 2
V = A - 13 equação (1)
Agora vamos contar as arestas olhando pelos vértices. De dois vértices partem 5 arestas, então contamos 10. De quatro vértices partem 4 arestas, então contamos 16.
Sendo V o número total de vértices, então nos faltam V-2-4 vértices, que partem 3 arestas, ou seja, contamos (V - 2 - 4)*3 arestas. Portanto, já contamos
10 + 16 + (V - 2 - 4)*3
3V + 8
Só que este número não é o total de arestas, e sim o dobro do total de arestas. Visualize a situação e veja que cada aresta está sendo contada exatamente duas vezes. Assim, podemos escrever a equação:
3V+8 = 2A
Substituindo o valor da equação (1) temos:
3(A-13) + 8 = 2A
A=31
V = A - 13 equação (1)
Agora vamos contar as arestas olhando pelos vértices. De dois vértices partem 5 arestas, então contamos 10. De quatro vértices partem 4 arestas, então contamos 16.
Sendo V o número total de vértices, então nos faltam V-2-4 vértices, que partem 3 arestas, ou seja, contamos (V - 2 - 4)*3 arestas. Portanto, já contamos
10 + 16 + (V - 2 - 4)*3
3V + 8
Só que este número não é o total de arestas, e sim o dobro do total de arestas. Visualize a situação e veja que cada aresta está sendo contada exatamente duas vezes. Assim, podemos escrever a equação:
3V+8 = 2A
Substituindo o valor da equação (1) temos:
3(A-13) + 8 = 2A
A=31
6) O número de faces de um poliedro convexo de 20 arestas é igual ao número de vértices. Determine o número de faces do poliedro.
SOLUÇÃO:
Sabemos que sendo dado um poliedro de V vértices, F faces e A arestas, vale a célebre relação de Euler:
V + F = A + 2
É dado que A = 20 e V = F. Logo, substituindo, fica:
F + F = 20 + 2 ; logo, 2F = 22 e daí conclui-se que F = 11. Portanto, o poliedro possui 11 faces.
7) Qual o número de arestas de um poliedro convexo que possui 3 faces hexagonais ?
Solução:
Para a solução desse exercício utilizamos a seguinte relação de Euler que diz que N = 2A , onde N = número total de lados das fases separadamente e A o número de arestas.
Assim temos:
3.6 = 2A => 2A=18 => A = 9
8) (UF-AM) O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro?
Solução:
Arestas (A) = 22
Faces (F) = Vértices (V)
Pela relação de Euler, temos:
F + V = A + 2
No problema sugerido temos que F = V, portanto:
V + V = 22 + 2
2V = 24
V = 24/2
V = 12
Como o número de faces é igual ao número de vértices, concluímos que o poliedro possui 12 faces.
Faces (F) = Vértices (V)
Pela relação de Euler, temos:
F + V = A + 2
No problema sugerido temos que F = V, portanto:
V + V = 22 + 2
2V = 24
V = 24/2
V = 12
Como o número de faces é igual ao número de vértices, concluímos que o poliedro possui 12 faces.
9) (PUC-MG) Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares.
Solução:
P: pentagonais (5 arestas)
T: triangulares (3 arestas)
T: triangulares (3 arestas)
F = 3*P + x*T
A = 4*x
A = 4*x
Número de arestas:
A = (3*5 + x*3)/2
4x = (15 + 3x) / 2
4x * 2 = 15 + 3x
8x – 3x = 15
5x = 15
x = 15/5
x = 3
A = (3*5 + x*3)/2
4x = (15 + 3x) / 2
4x * 2 = 15 + 3x
8x – 3x = 15
5x = 15
x = 15/5
x = 3
O poliedro possui 3 faces pentagonais e 3 faces triangulares, totalizando 6 faces.
Solução:
V: vértice
A: arestas
F: faces
A: arestas
F: faces
F = V – 3
F = 10 – 3
F = 7
F = 10 – 3
F = 7
O poliedro possui 7 faces, 15 arestas e 10 vértices.
A questão quatro está com a fórmula errada e a resposta é 12.
ResponderExcluirestá certa, por causa q o exercicio falou é convexa aberta
Excluirmuito foda carai
ResponderExcluir