Questões resolvidas de vestibulares sobre Esfera

Artigo sobre esfera - exercícios resolvidos, definição, área e volume


1) (UFPR) Duas esferas metálicas maciças, uma com raio igual a 4 cm e a outra com raio de 8 cm, são fundidas e moldadas em forma de um cilindro circular reto com altura igual a 12 cm. Determine, em cm, o raio do cilindro.

Resolução:

Esferas são bolas maciças com um eixo central, uma linha que passa pelo centro dividindo a esfera e um ponto central, o centro da esfera, de onde qualquer segmento que dali parta até a extremidade será o raio.
Para calcular a área, que é a casca da esfera temos:
A = 4πR²

Para o volume:
V = 4πR³
       3
Ou seja, tendo o raio, você tem tudo na esfera.

Na questão vamos determinar o volume das esferas que será o volume do cilindro:
Esfera 1
V = 4πR³
       3
V = 4π4³
       3
V = 4π64
       3
V = 256π
         3

Esfera 2
V = 4π8³
       3
V = 4π512
       3
V = 2048π
          3
Somando os volumes:
256π+2048π
   3         3
2304π
   3
768π

Como foram transformadas em um cilindro, temos o volume e a altura, encontramos o raio:
Vcilindro = πR².h
768π = πR².12
768 = 12R²
R²=64
R=8

Resposta: 08

2)  O volume de uma esfera A é 1/8 do volume de uma esfera B. Se o raio da esfera B mede 10, então quanto mede o raio da esfera A?

Resolução:

Va = Vb/8
4πR³/3 = 4π(10)³/3(8)
4πR³ = 4π(10)³/8
R³ = 10³/2³
R = 10/2

 R = 5

6) Dois cubos de metal, de aresta π* cm e 2π cm, fundem-se para formar uma esfera. Qual o comprimento do raio dessa esfera?

Resolução:

 O volume dessa nova esfera será igual a soma dos volumes dos cubos:

 
Cubo 1 = Volume 1 = π³
Cubo 2 = Volume 2 = (2π)³ = 8π³
V1 + V2 = π³ + 8π³ => 9π³
O volume de uma esféra é dado por: 4πR³/3 , aonde R = raio.
9π³ = 4πR³/3
27π³/4π = R³
R = ³V(27π²/4)

3) Uma secção feita numa esfera por um plano alfa é um círculo de perímetro 2 π cm. A distância do centro da esfera ao plano alfa é 2 raiz de 2 cm. Calcule a medida r do raio da esfera.

Resolução:

se o comprimento (ou perímetro do circulo) é igual a 2 . π, então:
raio( r ) 2 . π . r = 2 . π
r = 1cm

Calculamos o raio da secção. Agora para calcular o raio ( R ) da esfera, devemos usar o teorema de Pitágoras relacionando o raio da secção, raio da esfera e a distância entre o centro da esfera e o plano alfa que secciona a esfera.

R² = 1² + (2 . raiz de 2)²
R² = 1 + 4 . 2
R² = 9
R = 3 cm

4) Um plano alfa secciona uma esfera de raio 20cm. A distância do centro da esfera ao plano alfa é 12cm. Calcule a área da secção obtida.

Resolução: 

igualmente ao exercício acima, devemos aplicar a fórmula de Pitágoras:

20² = 12² + r²

r² + 144 = 400

r² = 256

r = 16 cm

O exercício pede a área da secção, que é um circulo. Logo temos:

16² . π = 256 . π cm²

5) Um cilindro equilátero de volume V encontra- se cheio de água, quando uma esfera, cujo o raio coincide com o raio da base do cilindro, é mergulhada completamente no cilindro fazendo transbordar certa quantidade de água. Qual o volume de água restante no cilindro em função de V?

Resolução: 

É o volume que o cilindro tem menos o da esfera:

Volume restante: r²π2r - 4πr³/3

Volume restante: (6πr³ - 4πr³)/3

Volume restante: 2πr³/3

Ali está em função do raio, mas podemos igualar o raio a:

v = r²π2r (volume do cilindro)... isolando o raio...

v = 2πr³

r³ = v/2π

r = ³V(v/2π)

Substituindo o valor do raio:

Volume restante: 2π[³V(v/2π)]³/3

Volume restante: v/3

6) Calcular o volume de uma cunha esférica de raio 3 cm cujo ângulo diedro mede 45°.

Resolução: 

360º -------------- 4π . 27/ 3                 x = 108π . 45/3 

45º ------------- x                               x = 9π/2 cm²

7) (FFT) Considere a Terra como uma esfera de raio 6.370km. Qual é sua área superficial? Descobrir a área da superfície coberta de água, sabendo que ela corresponde a aproximadamente 3/4 da superfície total. 

Solução:

At = 4π x r2 ≈ 4 x 3,14 x 6.3702. Portanto, At ≈ 509.645.864km2. A

superfície coberta por águas é dada por Aa = 3/4 x 509.645.864.

Logo, Aa ≈ 382.234.398km2.

8) UFPB/93 – Sendo o volume de uma esfera de raio R numericamente igual a 33 vezes a sua área, calcular o valor de R, em unidades de comprimento. 

Resolução:

Sabemos que para uma esfera de raio R, são válidas as seguintes fórmulas para o cálculo do volume V e da área S: 

V = (4/3).p .R3 e S = 4.p .R2 

O problema exige que V = 33.S ; substituindo, vem: 

(4/3).p .R3 = 33.4.p .R2 Þ (4/3).R3 = 132.R2 Þ (4/3).R = 132 Þ R = 132/(4/3) = 132.(3/4) = 396/4 = 99 

Resposta: 99 u.c.

9) Uma fábrica de bombons deseja produzir 20 000 unidades no formato de uma esfera de raio 1 cm. Determine o volume de cada bombom e a quantidade de chocolate necessária para produzir esse número de bombons. 

A quantidade de chocolate necessária para a produção das 20 000 unidades é de: 

Resolução:

4,18 * 20 000 = 83 600 cm³ 

Sabemos que 1cm³ = 1 ml, então 83 600 cm³ corresponde a 83 600 ml de chocolate ou 83,6 quilos. 

A fábrica irá gastar 83,6 quilos de chocolate, e o volume de cada bombom será de 4,18 cm³.

10) (U. S. Judas Tadeu - SP) Um plano intercepta uma esfera de 15 cm de raio segundo um círculo de área de área 144π cm². A distância do centro da esfera ao plano mede:

a) 3 cm          b) 6 cm       c) 9 cm       d) 12 cm       e) 15 cm

Resolução:

π (rc)² = 144    rc = √144 = 12

Agora usaremos o Teorema de Pitágoras para calcular a distância:

15² = (dc)² + 12²       225 = (dc)² + 144        (dc)² = 225-144      (dc)² = 81      dc = 9 cm

11) (FUVEST-SP) Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12 cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio desta circunferência, em cm, é:

a) 1             b) 2             c) 3              d) 4               e) 5

Resolução:

r² = (dc)² + (rc)²      13² = 12² + (rc)²       169 = 144 + (rc)²     (rc)² = 25     (rc) = 5 cm

12) (UFMG) Observe a figura.

Um plano intercepta uma esfera segundo um círculo de diâmetro AB. O ângulo AÔB mede 90º e o raio da esfera, 12 cm.

O volume do cone de vértice O e base de diâmetro AB é:

a) 9

b) 

c) 

d) 

e) 1304

Resolução:

π(rc)² = Ac      π(rc)² = 9π        rc = 3cm

Usando o Teorema de Pitágoras

r² = (dc)² + (rc)²     r² = 3² + 3²    r² = 18     r =  √9 . √2 = 3 √2

Vesf. = 4πr³       Vesf. = 4π(3√2)³        Vesf. = 4π . 27√2/3       Vesf. = 36π√2

13) Calcule:

a) A área de uma superfície esférica cujo mede 15 cm.

b) O raio de uma superfície esaférica de área igual a 18,0864 m². (usar  π = 3,14).

Resolução:

a) r = 15 cm

Temos: As = 4πr²      As = 4π15²     As = 900 π

b) As = 18,0864 m² e  π = 3,14

Temos: As = 4 πr²      4 . 3,14 . r² = 18, 0864      r² = 1,44      r = 1,2 cm

14) Duas esferas metálicas de raios r e 2r são fundidas e moldadas em forma de um cilindro de altura 3r. Qual é o raio R do cilindro? 

Resolução:

Volume da esfera metálica de raio r 


Volume da esfera metálica de raio 2r 


Somar os volumes das esferas

 Volume do cilindro será igual ao volume das esferas. 
Volume do cilindro = π * r² * h, onde altura igual a 3r. Vamos determinar o raio R do cilindro. 

π * R² * 3r = 12 * π * r³ 
R² = 12 * r³ / 3r 
R² = 4r² 
R = 2r 

Temos que o raio do cilindro é 2r. 

15) Uma fábrica de bombons deseja produzir 20 000 unidades no formato de uma esfera de raio 1 cm. Determine o volume de cada bombom e a quantidade de chocolate necessária para produzir esse número de bombons. 

Resolução:

Volume de cada bombom 

A quantidade de chocolate necessária para a produção das 20 000 unidades é de: 

4,18 * 20 000 = 83 600 cm³ 

Sabemos que 1cm³ = 1 ml, então 83 600 cm³ corresponde a 83 600 ml de chocolate ou 83,6 quilos. 

A fábrica irá gastar 83,6 quilos de chocolate, e o volume de cada bombom será de 4,18 cm³.

16) (ENEM-2010) Se pudéssemos reunir em esferas toda a água do planeta, os diâmetros delas seriam:

A razão entre o volume da esfera que corresponde à água doce superficial e o volume da esfera que corresponde à água doce do planeta é

a) 1/343 

b) 1/49 

c) 1/7 

d) 29/136 

e) 136/203 

RESOLUÇÃO: 

Vamos considerar V1 e V2 o volume da esfera que corresponde à água doce superficial e o volume da esfera que corresponde à água doce do planeta, respectivamente.

Portanto, Gabarito é letra A.

14)  Considere uma laranja como uma esfera composta de 12 gomos exatamente iguais. Se a laranja tem 8cm de diâmetro, qual é o volume aproximado de cada gomo?

a) 19cm3.

b) 20cm3.

c) 21cm3.

d) 22cm3.

e) 23cm3.

15)  (PUC-MG) O diâmetro de uma esfera é igual à altura de um cone, e ambos têm raios iguais. A razão entre o volume da esfera e o volume do cone é:

a) 

b) 

c) 2

d) 

e) 4

Esfera - conceito, área e volume

Esfera é o conjunto de todos os pontos do espaço cuja distância ao ponto O seja menor ou igual a r.

     Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.

Posição relativa entre plano e esfera

Plano secante à esfera

O plano intersecciona a esfera formando duas partes, se o plano corta a esfera passando pelo centro temos duas partes de tamanhos iguais. 

  






Plano tangente à esfera 

O plano tangencia a esfera em apenas um ponto, formando um ângulo de 90º graus com o eixo de simetria.

  







Plano externo à esfera 

O plano e a esfera não possuem pontos em comum. 

  






Área de uma Superfície Esférica 
Temos que a área de uma superfície esférica de raio r é igual a: 

 


Volume da esfera 

Por ser considerada um sólido geométrico, a esfera possui volume representado pela seguinte equação: 

 



Fuso Esférico e Cunha Esférica 

Azul: é o fuso

Cinza: é a cunha.

Fuso é uma parte da esfera, podendo ser representada por "goma de mexerica" (metaforicamente).

Fontes: defrentecomamatematica.blogspot.com.br/

            www.brasilescola.com/‎