Permutação simples, com repetição e circulares - exemplos e questões

Permutação simples -  definição, fórmula e exemplos

O conceito de permutar e de fatorar estão bem relacionados. Quando falamos de permutação já ligamos este pensamento à mistura dos elementos, troca de posições. Quando desejamos permutar alguns elementos, o faremos de forma completa, encontrando todas as posições possíveis de arranjar tais elementos.

Quando calculamos uma permutação, estamos calculando todas as possibilidades que existem para organizar os elementos de um determinado conjunto.

Vejamos um exemplo:
De quantas maneiras diferentes podemos organizar um número com 4 algarismos (sem repeti-los) utilizando os algarismos 6,7,8,9?

Veja que há 4 possibilidades para dispor os números e 4 números para organizar. Com isso, podemos afirmar que estaremos utilizando todos os elementos disponíveis.

De tal modo, teremos 4 possibilidades para o primeiro algarismo do número, 3 possibilidades para o segundo algarismo, 2 possibilidades para o terceiro e 1 possibilidade para o quarto.

Ao multiplicarmos estas possibilidades, obteremos a seguinte expressão:
4*3*2*1=4!  (Este resultado nos dará a quantidade de possibilidades que temos para formar um número com 4 algarismos utilizando os números 6,7,8,9.)

Esta também é a definição de permutação que, por sua vez, é dada da seguinte forma:

Tem-se n elementos para permutá-los entre si. Com isso, a permutação simples destes n elementos distintos, é dada por:

Exemplo 2: De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seis mulheres:

a) em qualquer ordem

Podemos organizar as 12 pessoas de forma distinta, portanto utilizamos
12! = 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 479.001.600 possibilidades

b) iniciando com homem e terminando com mulher

Ao iniciarmos o agrupamento com homem e terminarmos com mulher teremos:
Seis homens aleatoriamente na primeira posição.
Seis mulheres aleatoriamente na última posição.

P = (6*6) * 10!
P = 36*10!
P = 130.636.800 possibilidades

Exemplo 3: Determine o número de anagramas formados a partir da palavra ESCOLA.

Note que não temos nenhuma letra repetida, afinal, na permutação todos os elementos do conjunto devem ser distintos.

Com isso, o conjunto a ser permutado é o seguinte: {E,S,C,O,L,A}. 6 elementos que devem ser permutados entre si.

Vale ressaltar que a permutação é um caso particular do Arranjo, veja por que:

Quando analisamos o arranjo simples, no qual temos n elementos para combinar e, destes n elementos, pegamos todos eles, teremos justamente o caso da permutação.

Uma forma diferente na qual os problemas matemáticos podem aparecer é quando a quantidade de possibilidades de permutar os elementos é conhecida e se busca descobrir quantos elementos foram permutados, ou seja, trata-se de uma equação envolvendo permutação.

Exemplo:

Temos que encontrar o número cujo fatorial seja igual a 24. Uma forma prática (sem que seja necessário encontrá-lo por meio da sorte) é utilizar a fatoração do número 24 e depois escrever este número na forma de produto.

24=2*3*4   (Este produto te lembra algum número fatorial?)

Veja: 4!=4*3*2*1

Na fatoração do 24 não apareceu o número 1, entretanto sabemos que ao multiplicarmos por 1 não alteraremos em nada a igualdade, portanto podemos escrever o 24 da seguinte forma:

24=4*3*2*1=4!

Dessa maneira, temos que 4!=24, ou seja, o número de elementos permutados é 4.

Entretanto, existem outros exemplos que recaem em equações do segundo grau, vejamos um exemplo:




Temos que simplificar esta divisão:



Ao resolvermos esta equação, encontraremos o seguinte conjunto solução: S={-22,23}. Não é possível ter uma quantidade de elementos negativa, ou seja, a quantidade de elementos que satisfaz a igualdade inicial é quando n=23.

Permutação com repetição - conceito, fórmula e exemplos

Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.

Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então 

Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2). C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn) 

Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição. 

Exemplo 1: Determine o número de permutações que podem ser feitas com as letras da palavra MATEMATICA.

Se as letras M, T e A fossem diferentes, teríamos as letras M₁, M_2, A₁, A₂, A₃, T₁, T₂, E, I, C e o total de permutações seria P₁₀ = 10!.

No entanto, as  permutações entre as 2 letras M não produzirão novo anagrama. Então precisamos dividir P₁₀ por P₂. O mesmo acontece com as 3 letras A e as 2 letras T. Portanto, o número de permutações  da palavra MATEMATICA é:

n = 10 (total de letras)

n₁ = 2 (número de letras M)

n₂ = 3 (número de letras A)

n₃ = 2 (número de letras T)

Exemplo 2: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. 

A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: 

Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,
AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,
ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR} 

Exemplo 3: Quantos anagramas podem ser formados com a palavra ITALIANA, aplicando a permutação teremos:

Portanto, com a palavra ITALIANA podemos formar 3360 anagramas.

Permutação circular - definição, fórmula e exemplos

Permutação circular é uma permuta, troca, alternância que ocorre ao redor de uma mesa, em um círculo de pessoas, em uma roda de lual  ou qualquer outro evento que esteja em circulo! por que? porque numa mesa ou numa roda onde temos as “pessoas” A, B, C, D, E & F, há a possibilidade de permuta-las, porém algumas permutações não fazem diferença nenhuma!

ex.:

Nesse exemplo as pessoas A, B, C, D, E & F estão em posições diferentes, elas trocaram de posições, todavia a disposição delas a mesa ainda é a mesma coisa! esse tipo de permutação não é contada, nos eventos da permutação circular disposições iguais de uma roda ou de uma mesa não são contados, apenas os eventos que de fato são diferentes e que não equivalem a simplesmente girar as pessoas nas posições em que estão.

A fórmula da permutação circular é 

Exemplo 1:

De quantas maneiras 6 crianças podem dar as mãos para brincar de roda?

Basta fazer permutações circulares de 6, isto é:

P₆ = ( 6 - 1)! = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

Exemplo 2:

 Pedro e Júlia são 2 crianças de um total de 8 que, de mãos dadas, brincam de roda. De quantas maneiras elas podem brincar ficando Ana e Pedro sempre lado a lado?

Devemos considerar Pedro e Júlia como uma única pessoa. Temos, portanto, 7 crianças que podem brincar de (7 - 1)! = 6! maneiras diferentes. Como Ana e Júlia podem estar lado a lado de duas maneiras diferentes (Pedro-Júlia, Júlia-Pedro), devemos multiplicar este número este número por 2. Assim, a reposta é:

2P₇ = 2.(7 - 1)! = 2. 6! = 2. 720 = 1 440.

Exemplo 3:

Número de maneiras que uma família de 5 pessoas podem se sentar em uma mesa com o pai e mãe juntos?

>> Vamos usar a mesma lógica da permutação simples, onde nós consideramos o pai e mãe como apenas um elemento:
>> 5 pessoas = A B C D E que agora serão A B C D E (permutação circular de 4 elementos!)
>> (4-1)! = 3!
>> masssss… nós precisamos considerar que o pai e a mãe estão juntos todavia ainda há uma permutação entre eles!!! 2! e devemos acrescentar essa parcela ao cálculo:
>> (4-1)! . 2!
>> ou seja pessoal! mesma lógica da permutação simples, contamos o evento da permutação circular e acrescentamos o evento permutação simples entre o pai e a mãe!
>> 3!2! = 6.2 = 12

Fonte: www.alunosonline.com.br

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Questões resolvidas de vestibulares sobre permutação simples, com repetição e circular

1) Utilizando o nome COPACABANA, calcule o número de anagramas formados desconsiderando aqueles em que ocorrem repetições consecutivas de letras. 

Solução:


Os cartões poderão ser marcados de 60.060 maneiras diferentes.

2) Ao preencher um cartão da loteria esportiva, André optou pelas seguintes marcações: 4 coluna um, 6 coluna do meio e 3 coluna dois. De quantas maneiras distintas André poderá marcar os cartões? 

Solução:



3) Em uma prova composta de 20 questões envolvendo V ou F, de quantas maneiras distintas teremos doze respostas V e oito respostas F? 

Solução:

Podemos ter 125.970 maneiras distintas de respostas envolvendo doze questões V e oito F. 

4) De quantas maneiras diferentes pode ser preenchido um talão de loteria esportiva com 5 “coluna um” , 6 “coluna do meio” e 2 “coluna dois”?

Solução:

Seja:

5) De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seis mulheres em qualquer ordem ?

Solução:

Podemos organizar as 12 pessoas de forma distinta, portanto utilizamos

12! = 12 .11 . 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 479.001.600 possibilidades

6) (ITA) No sistema decimal,quantos números de cinco algarismos (sem repetição) podemos escrever,de modo que os algarismos 0(zero),2(dois) e 4(quatro) aparecem agrupados?

Obs: Considerar somente números de 5 algarismos em que o primeiro algarismo é diferente de Zero.

Solução: 

_ _ _ _ _  cinco algarismos.
_ _ 0 2 4

Para escolher os dois algarismos que faltam temos C7,2 possibilidades.
Como 0,2 e 4 devem estar juntos,podemos supor que são um só elemento ocupando uma só casa
_ _ 024

Levando em conta que o "pacote"024 pode mudar de posição e que os algarismos 0,2 e 4 podem mudar de posição entre si teremos:

C7,2*P3*P3=[(7*6)/2*]*6*6=756

Como os números não podem começar por zero devemos,porém,subtrair.
024_ _--->A7,2=42
042_ _--->A7,2=42

Restam,portanto,756-84=672=2^5*3*7

7) Quantos números diferentes podemos formar, permutando os algarismos do número 2248862?

8) quantos são os algarismos da palavra ESCOLA  que não tem duas vogais juntas?

9) Quantos são os anagramas da palavra MISSISSIPI que não possuem duas letras I juntas?

10) De quantos modos se podem sentar em fila,3 ingleses, 3 franceses e 3 turcos, de modo que não fiquem dois compatriotas juntos?

11)  (UFSCAR) Calcule o número de anagramas da palavra CLARA em que as letras AR parecem juntas nesta ordem.

a) 9!

b) 8!

c) 2.7!

d) 9! -7!

e) 7!

12) Deseja-se pintar uma bandeira, com 7 faixas verticais, dispondo de 3 cores, sem que se tenha duas faixas consecutivas da mesma cor. De quantas maneiras isto é possível?

Gabarito:

7) B      8) 72    9) 1050      10) 37584       11) B     12) C