Poliedros e a relação de Euler (com questões)

POLIEDROS

As figuras geométricas espaciais também recebem o nome de sólidos geométricos, que são divididos em: poliedros e corpos redondos. Vamos abordar as definições e propriedades dos poliedros.

Poliedros são figuras geométricas formadas por três elementos básicos: vértices, arestas e faces. Um poliedro é considerado regular quando suas faces são polígonos regulares e congruentes.




Dentre os poliedros existentes, existem alguns considerados Poliedros de Platão, pois todas as faces possuem o mesmo número de arestas, todos os ângulos poliédricos possuem o mesmo número de arestas e se enquadram na relação de Euler. Os Poliedros considerados de Platão são:




Tetraedro, Hexaedro (cubo), Octaedro, Dodecaedro, Icosaedro. 

Relação de Euler
A fórmula de Euler está atribuída à relação de dependência entre os elementos de um poliedro. A expressão matemática desenvolvida por Leonhard Euler, matemático suíço, é a seguinte: V – A + F = 2. Onde:

V = vértice
A = arestas
F = Faces

Essa expressão determina o número de faces, arestas e vértices de qualquer poliedro. 

Exemplo da relação de Euler

Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura. 

Solução:

Temos que o número de vértices é igual a 20 → V = 20

As arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir por dois o número total de arestas. Veja:

              

De acordo com a relação de Euler, temos que:

F + V = A + 2
F + 20 = 50 + 2
F = 52 – 20
F = 32

O poliedro em questão possui 32 faces. 

Poliedros convexos

Um poliedro é chamado convexo, em relação a uma de suas faces, se está todo contido no mesmo semi-espaço determinado por esta mesma face. Complicado? Vamos entender melhor isso!

Considere um poliedro e uma de suas faces: um octaedro, por exemplo. Imagine um plano apoiado nessa face. O poliedro ficou todo de um lado só desse plano? Então ele é convexo! Veja:

Poliedro convexo

Poliedro não convexo

Abaixo, veja mais exemplos de poliedros convexos e suas planificações:





Os nomes dos poliedros convexos dependem do número de faces:

Tetraedro = Quatro faces

Pentaedro = Cinco faces

Hexaedro = Seis faces

Heptaedro = Sete faces

Octaedro = Oito faces

Decaedro = Dez faces

Dodecaedro = Doze faces

Icosaedro = Vinte faces

Poliedros Regulares

Vamos lembrar o conceito de polígono regular: aquele em que todos os lados são congruentes (iguais) e todos os ângulos são também congruentes.

Então, um poliedro é regular se suas faces são polígonos regulares, todos com o mesmo número de lados e, em cada vértice do poliedro, encontram-se (convergem) sempre o mesmo número de arestas.

Existem apenas cinco poliedros regulares:

Poliedro regular convexo	Cada face é um	Faces (F)	Vértices (V)	Arestas (A)	Ângulos entre as arestas (m)
Tetraedro	triângulo equilátero	4	4	6	12
Hexaedro	quadrado	6	8	12	24
Octaedro	triângulo equilátero	8	6	12	24
Dodecaedro	pentágono regular	12	20	30	60
Isocaedro	triângulo equilátero	20	12	30	60

Soma dos ângulos de um poliedro - Fórmula e Exemplos resolvidos

Para realizar a soma(S) das medidas dos ângulos das faces de um poliedro convexo utilizamos a seguinte formula/relação:

S = 360°.(V-2)

Onde S é a soma das medidas dos ângulos e V o número de Vértices.

É muito importante saber e lembrar dessa fórmula da soma dos ângulos, afinal é com ela que em alguns exercícios podemos chegar a valores dos vértices, para assim poder aplicar o teorema de Euler que aprendemos anteriormente.

E afim de não deixar o conteúdo muito extenso, não vamos entrar em maiores detalhes a respeito de como chegar nessa relação, por isso vamos diretamente para a prática, pois é fazendo exercícios e treinando que aprendemos e fixamos o conteúdo.

Exs:
1) Qual a quantidade de vértices de um poliedro convexo onde a soma das medidas das suas faces é 2880° ?

Como a formula da soma dos ângulos diz que S = 360°.(V-2), basta realizar as devidas substituições:

2880 = 360 . (V-2) => (V-2) = 2880/360 => V-2=8 => V=10

Ou seja, a quantidade de vértices desse poliedro é 10 !

2) Qual a soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo de 8 vértices?

S = 360°.(V-2)

S = 360.(8-2) => 360.6 => 2160°

O resultado da soma dos ângulos desse poliedro convexo é 2160°.

Fontes: http://educacao.uol.com.br/matematica/poliedro.jhtm

           http://www.brasilescola.com/matematica/poliedros.htm


Questões resolvidas sobre Poliedros e relação de Euler

1) (Fatec - SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro?

Solução:
Do enunciado, sabemos que
Número de faces: 3 + 2 + 4 = 9

Número de arestas:
3 faces com 4 lados: 3 . 4 = 12
2 faces com 3 lados: 2 . 3 = 6
4 faces com 5 lados: 4 . 5 = 20
Somando: 12 + 6 + 20 = 38
Atenção: as faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Ao contarmos todas as arestas de todas as faces, cada aresta é contada duas vezes, uma para cada face "grudada" nela. Assim, esse número, na verdade, é o dobro do número real de arestas do poliedro. Logo:

A = 38 ÷ 2 = 19.

Usando, agora, a Relação de Euler, temos:

V + F = 2 + A
V + 9 = 2 + 19
V = 21 - 9 = 12.

2) Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro?

Solução:

Como o poliedro tem 12 faces pentagonais, então:

12 . 5  = 60

O poliedro tem 20 faces hexagonais, assim 20 . 6  = 120, logo:  F = 12 + 20 = 32

Cada aresta foi contada duas vezes, portanto temos:

2A = 60 + 120
A = 90

Como o poliedro é convexo, vale a relação de Euler,

V – A + F = 2, portanto:

V – 90 + 32 =2
V = 2 + 90 – 32
V = 60

Assim, o número de vértices é 60.

3) (FAAP - SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.

Solução:

Essa é a Relação de Euler para poliedros convexos: 

De acordo com o enunciado, temos:
A = V + 6

Usando a Relação de Euler e substituindo A de acordo com a igualdade acima:

V + F = 2 + A
V + F = 2 + V + 6

Eliminando V:

F = 8

O número de faces é igual a 8.

4)  (ITA-SP) Numa superfície poliédrica convexa aberta, o número de faces é 6 e o número de vértices é 8. Então o número de arestas é: (O que é uma superfície poliédrica convexa aberta?!)

a-) 8             b-) 11           c-) 12            d-) 13             e-) 14

Solução:

Nesta questão é só utilizar a fórmula V+F=A+1

8+6=A+1

A = 13

5)  (MACK-SP) Um poliedro convexo tem 15 faces. De dois de seus vértices partem 5 arestas, de quatro outros partem 4 arestas e dos restantes partem 3 arestas. O número de arestas do poliedro é:                                                            

a-)75             b-)53            c-)31            d-)45             e-)25

Solução:

É dado que F=15, portanto: V +15 = A + 2

V = A - 13 equação (1)
Agora vamos contar as arestas olhando pelos vértices. De dois vértices partem 5 arestas, então contamos 10. De quatro vértices partem 4 arestas, então contamos 16.
Sendo V o número total de vértices, então nos faltam V-2-4 vértices, que partem 3 arestas, ou seja, contamos (V - 2 - 4)*3 arestas. Portanto, já contamos

10 + 16 + (V - 2 - 4)*3
3V + 8

Só que este número não é o total de arestas, e sim o dobro do total de arestas. Visualize a situação e veja que cada aresta está sendo contada exatamente duas vezes. Assim, podemos escrever a equação:

3V+8 = 2A

Substituindo o valor da equação (1) temos:

3(A-13) + 8 = 2A
A=31

6) O número de faces de um poliedro convexo de 20 arestas é igual ao número de vértices. Determine o número de faces do poliedro.

SOLUÇÃO:
Sabemos que sendo dado um poliedro de V vértices, F faces e A arestas, vale a célebre relação de Euler:
V + F = A + 2

É dado que A = 20 e V = F. Logo, substituindo, fica:

F + F = 20 + 2 ; logo, 2F = 22 e daí conclui-se que F = 11. Portanto, o poliedro possui 11 faces.

7) Qual o número de arestas de um poliedro convexo que possui 3 faces hexagonais ?

Solução:

Para a solução desse exercício utilizamos a seguinte relação de Euler que diz que N = 2A , onde N = número total de lados das fases separadamente e A o número de arestas.

Assim temos:

3.6 = 2A => 2A=18 => A = 9

8) (UF-AM) O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro? 

Solução:

Arestas (A) = 22
Faces (F) = Vértices (V)
Pela relação de Euler, temos:
F + V = A + 2
No problema sugerido temos que F = V, portanto:
V + V = 22 + 2
2V = 24
V = 24/2
V = 12
Como o número de faces é igual ao número de vértices, concluímos que o poliedro possui 12 faces.
 

9) (PUC-MG) Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares. 

Solução:

P: pentagonais (5 arestas)
T: triangulares (3 arestas)

F = 3*P + x*T
A = 4*x

Número de arestas:
A = (3*5 + x*3)/2
4x = (15 + 3x) / 2
4x * 2 = 15 + 3x
8x – 3x = 15
5x = 15
x = 15/5
x = 3

O poliedro possui 3 faces pentagonais e 3 faces triangulares, totalizando 6 faces.
 

10) Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a 2/3 do número de arestas, e o número de faces é três unidades menos que o de vértices. Calcule o número de faces, de vértices e arestas desse poliedro. 

Solução:

V: vértice
A: arestas
F: faces

F = V – 3
F = 10 – 3
F = 7

O poliedro possui 7 faces, 15 arestas e 10 vértices.