Triângulo de Pascal e Binômio de Newton - resumo (com questões)

Triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético formado por números que têm diversas relações entre si. Muitas dessas relações foram descobertas pelo próprio Pascal, o que justifica o nome que lhe é dado.

							1
						1		1
					1		2		1
				1		3		3		1
			1		4		6		4		1
		1		5		10		10		5		1
	1		6		15		20		15		6		1
1		7		21		35		35		21		7		1

...

Este triângulo forma-se de forma recursiva, ou seja, as diagonais de fora são formadas por 1's, os restantes números são a soma dos números acima. Como exemplo podemos dizer que: 10=4+6 (10-linha 5; 4 e 6-linha 4).
NOTA: Considera-se que o topo do triângulo corresponde à linha 0, coluna 0.
Apresentando a fórmula matemática para esta propriedade:

sendo n o número de linhas e k o número de colunas dessa linha onde o número está (não se conta com o topo do triângulo, pois numa sucessão definida por recorrência tem que existir uma condição inicial, tal é 1).
Tal fórmula prova-se por indução matemática em n.

Propriedades do Triângulo de Pascal As propriedades  do triângulo de Pascal são as seguintes: Cada linha representa os números binomiais na expansão de (x+y)n, n≥0. Por exemplo, (x+y)3=1.x3 + 3x2y + 3xy2 + 1.y3 e na quarta linha temos 1 3 3 1. Ocorre que sabemos pelo  Binômio de Newton que cada número do triângulo de Pascal será um coeficiente binomial, ou seja, na (n+1)-ésima linha o (k+1)-ésimo número será: Por exemplo, na 5ª linha o terceiro número é: Pela construção do triângulo de Pascal, temos: Relação de Stiffel Por exemplo, 10=4+6, ou seja: A soma de todos os números na (n+1)-ésima linha é igual a 2n. Por exemplo, na 1ª linha a soma é 20=1, na 4ª linha  23=8, etc. O triângulo de Pascal é simétrico em relação a sua  altura pois Se somarmos a diagonal também temos o seguinte resultado: Por exemplo, na 3ª diagonal: 1+3+6+10=20, ou

Vamos resolver os seguintes exemplos, aplicando as propriedades do triângulo de Pascal.

Exemplo 1:

Sendo 1 a 21 35 b c 7 1 uma linha do triângulo de Pascal, determinar a, b e c:

Solução:

1             a            21            35            b              c             7              1

Pela 1ª propriedade, temos a = 7, b = 35 e c = 21.

Exemplo 2:

Sendo: 

1    7     21     b     35      21       e        1

1    8     a      56     c       d        28       8      1

duas linhas consecutivas do triângulo de Pascal, vamos determinar a, b, c, d, e.

De acordo com a 2ª  propriedade, temos:

a = 7 + 21 = 28

21 + b = 56  ► b = 35

b + 35 = c ► c = 70

d = 35 + 21 = 56

21 + e = 28 ► e = 7

Calcular a soma:

Binômio de Newton

Denomina-se Binômio de Newton, a todo binômio da forma (a + b)ⁿ , sendo n um número natural, que é chamado de ordem do binômio.

Assim, para determinar quais são as combinações possíveis quando uma distribuição possui os parâmetros p e q, faz-se a expansão do

Binômio de Newton: : (p + q)ⁿ

Quando o expoente n for 2, fica simples, apenas decorando “o quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo” = (a + b)² = a² + 2ab + b² . Porém quando o expoente for um número maior, fica mais complicado, do que aplicar o método da distributiva (“chuveirinho”).
A fórmula que Newton criou é a seguinte: 
O numero de termos da nova expressão será o expoente n + 1 .

Exemplo de utilização do binômio de Newton


Para saber rapidamente quais são os valores dos números binomiais, basta pesquisarmos o Triângulo de Pascal:


Então obtemos a expressão:
1.16x⁴.1 + 4.8x³.1 + 6.4x².1 + 4.2x . 1 + 1.1.1
1.16x⁴.1 + 32x³.1 + 24x².1 + 8x . 1 + 1

Caso em uma questão de vestibular seja pedido a soma dos coeficientes numérico do desenvolvimento de um binômio, não é necessário fazer todo o desenvolvimento pelo binômio de newton, basta saber a seguinte dica:
- troque qualquer letra do binômio por 1
- calcule o valor que ficará dentro dos parênteses, e pronto, basta elevá-lo à n.
No desenvolvimento que mostramos anteriormente, a soma dos coeficientes é 81 (16 + 32 + 24 + 8 + 1), agora utilizando a dica dada:
(2x+1)⁴
(2.1 + 1)⁴ = 3⁴ = 81

Observações:


1) o desenvolvimento do binômio (a + b)ⁿ é um polinômio.
2) o desenvolvimento de (a + b)ⁿ possui n + 1 termos .
3) os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos , no desenvolvimento de 
(a + b)ⁿ são iguais .
4) a soma dos coeficientes de (a + b)ⁿ é igual a 2ⁿ .

Fonte: www.algosobre.com.br/

          www.infoescola.com/

Questões resolvidas sobre Triângulo de Pascal e Binômio de Newton

1) Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)⁸ ?

Solução:Temos a = 2x , b = 3y e n = 8. Sabemos que o desenvolvimento do binômio terá 9 termos, porque n = 8. Ora sendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 os termos do desenvolvimento do binômio, o termo do meio (termo médio) será o T5 (quinto termo). Logo, o nosso problema resume-se ao cálculo do T₅ . Para isto, basta fazer
p = 4 na fórmula do termo geral e efetuar os cálculos decorrentes.
Teremos:
T₄₊₁ = T₅ = C_8,4 . (2x)^8-4 . (3y)⁴ = 8! / [(8-4)! . 4!] . (2x)⁴ . (3y)⁴ 
= 8.7.6.5.4! / (4! . 4.3.2.1) . 16x⁴.81y⁴ 

Fazendo as contas vem:
T₅ = 70.16.81.x⁴ . y⁴ = 90720x⁴y⁴ , que é o termo médio procurado.

2) Determine o 7º termo do binômio (2x + 1)⁹ , desenvolvido segundo as potências decrescentes de x.

Solução:Vamos aplicar a fórmula do termo geral de (a + b)ⁿ , onde a = 2x , b = 1 e n = 9. Como queremos o sétimo termo, fazemos p = 6 na fórmula do termo geral e efetuamos os cálculos indicados. Temos então:
T₆₊₁ = T₇ = C_9,6 . (2x)^9-6 . (1)⁶ = 9! /[(9-6)! . 6!] . (2x)³ . 1 = 9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x³ = 84.8x³= 672x³. Portanto o sétimo termo procurado é 672x³.

3) Determine o termo independente de x no desenvolvimento de (x + 1/x )⁶ .

Solução:

Sabemos que o termo independente de x  é aquele que não depende de x, ou seja, aquele que não possui x.
Temos no problema dado: a = x , b = 1/x e n = 6.

Pela fórmula do termo geral, podemos escrever:

T_p+1 = C_6,p . x^6-p . (1/x)^p = C_6,p . x^6-p . x^-p = C_6,p . x^6-2p .
Ora, para que o termo seja independente de x, o expoente desta variável deve ser zero, pois x⁰ = 1. Logo, fazendo 6 - 2p = 0, obtemos p=3. Substituindo então p por 6, teremos o termo procurado. Temos então:
T₃₊₁ = T₄ = C_6,3 . x⁰ = C_6,3 = 6! /[(6-3)! . 3! ] = 6.5.4.3! / 3!.3.2.1 = 20.
Logo, o termo independente de x é o T₄ (quarto termo) que é igual a 20.

4) O binômio de Newton foi desenvolvido para facilitar as adições e subtrações de termos algébricos elevados a expoentes maiores que 3. Com base nas técnicas apresentadas pelo binômio, calcule o desenvolvimento da expressão .

Solução:

5) Utilizando o desenvolvimento do binômio de Newton, calcule o desenvolvimento da expressão (2x + 1)⁴.

Solução:

No desenvolvimento de (3x + 13)ⁿ há 13 termos. A soma dos coeficientes destes termos 
é igual a:

 Resp;2⁴⁸

6) UF. VIÇOSA - A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)^m é 625. O valor de m é:
a) 5
b) 6
c)10
d) 3
e) 4

7) Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (3x - 1)¹⁰.
Resp: 1024

8) (CESGRANRIO) O coeficiente de x4 no polinômio P(x) = (x + 2)6 é:

a) 64

b) 60

c) 12

d) 4

e) 24

9) (UNESP) Se n é um número inteiro positivo, pelo símbolo n! subentende-se o produto de n fatores distintos, n . (n - 1) . (n - 2) ... 2 . 1. Nestas condições, qual é o algarismo das unidades do número (9!8!)7!?

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

10) Se um dos termos do desenvolvimento do binômio (x + a)¦, com a  IR, é 80x², então o valor de a é

a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
e) 2

11) No desenvolvimento de (x + y)ⁿ, a diferença entre os coeficientes do 3(0). e do 2(0). termos é igual a 54. Podemos afirmar que o termo médio é o:

a) 3(0).
b) 4(0).
c) 5(0).
d) 6(0).
e) 7(0).

12) Se a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (2x + y)ⁿ é igual a 243, então o número n é

a) 12
b) 10
c) 8
d) 5e) 3

13) A expressão n! 3ⁿ⁺¹/[3ⁿ­² (n + 2) !] é equivalente a:

a) 27/(n² + 3n + 2)b) (n - 1)/(9n + 18)
c) n + 1
d) 27n² + 81n + 54
e) 27n + 54

14) No desenvolvimento do binômio [⁴vx + (1/vx)]¹(0), segundo as potências decrescentes de x, o sétimo termo é:

Resp: C

15) Calcule o valor da expressão a seguir (imagem abaixo) , onde n é ímpar, justificando a sua resposta.

Resposta: Zero, pois os termos binomiais equidistantes dos extremos são complementares e, portanto, iguais, e possuem sinais contrários, anulando-se dois a dois.

16) (UFPR) Considerando o Binômio [x² + (1/x)]ⁿ, assinale o que for correto.

01) Se n é um número par, o desenvolvimento desse Binômio tem um número ímpar de termos.
02) Se a soma dos coeficientes do desenvolvimento desse Binômio é 256, então (n/2)!=24
04) Se o desenvolvimento desse Binômio possui seis termos, a soma de seus coeficientes é 32
08) Se n = 4, o termo médio desse Binômio é independente de x
16) O produto do primeiro termo do desenvolvimento desse Binômio pelo seu último termo é xⁿ, para qualquer valor de nN*

Resp: 23

17) Se a e b são números reais tais que (a + b)¹(0) = 1024 e se o 6(0). termo do desenvolvimento binomial é igual a 252, então:

a) a = 1/2 e b = 3/2
b) a = 3 e b = -1
c) a = 2/3 e b = 4/3
d) a = 1/3 e b = 5/3
e) a = 1 e b = 1

Sabendo que:

x e y são números positivos
x - y = 1 e
x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴ = 16

podemos concluir que:

a) x = 7/6
b) x = 6/5
c) x = 5/4
d) x = 4/3
e) x = 3/2

18) No triângulo de Pascal

n = 0 1

n = 1 1 1

n = 2 1 2 1

n = 3 1 3 3 1

n = 4 1 4 6 4 1

. . . . . . . . .

a soma dos elementos da linha n com os da linha n + 1 é

a) n ( n + 1 )

b) 2n . 2n+1

c) 3 . 2n

d) 2 . 2n+1

e) 3n . 2n+1

19) Desenvolvendo o binômio (2x - 1)⁸, o quociente entre o quarto e o terceiro termos é

a) - 4
b) - x
c) x
d) - 1/xe) 4x

20) Para que o termo médio do desenvolvimento do binômio (sen x + cos x)⁶, segundo as potências decrescentes de sen x, seja igual a 5/2, o arco x deve ter sua extremidade pertencente ao

a) primeiro ou segundo quadrantes.
b) primeiro ou terceiro quadrantes.c) segundo ou terceiro quadrantes.
d) eixo das abscissas.
e) eixo das ordenadas.