Você sabe qual a diferença entre uma equação de 1º grau e uma de 2º? Está enganado quem achar que o nome tem a ver com ensino fundamental ou médio! O que determina o grau de uma equação é o expoente (a potência) da incógnita (a letra, geralmente x e y. Nas de 2o grau, o maior expoente da incógnita é 2.
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Existem equações de 3o grau, 4o grau etc. Por exemplo, a equação 6x + 5x4 + 45x2 = 0 é uma equação do 4o grau, pois o maior expoente da incógnita x é 4.
Raízes da equação:
A solução de uma equação é chamada de raiz. O número de raízes possíveis de uma equação é igual ao seu grau. Equações de 2o grau possuem, então, no máximo duas raízes; equações de 3o grau possuem no máximo 3 raízes, etc.
Equações de 2o grau incompletas
Algumas equações do 2o grau são de fácil solução:
Por exemplo: qual o número que elevado ao quadrado resulta 25?
Equacionando o problema:
x2 = 25
Há dois números que satisfazem essa condição, ou há dois números que são raízes da equação (já que ela é de 2º grau).
Veja a resolução:
x = 
X = 
5 e - 5 são raízes da equação de 2o grau x2 = 25
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU INCOMPLETAS
1° CASO – equações da forma ax² + c = 0, (b = 0)
Exemplos:
1) x² - 25 = 0
x² = 25
x = √25
x = 5
logo V= (+5 e -5)
2) 2x² - 18 = 0
2x² = 18
x² = 18/2
x² = 9
x = √9
x = 3
logo V= (-3 e +3)
3) 7x² - 14 = 0
7x² = 14
x² = 14/7
x² = 2
x = √2
logo V = (-√2 e +√2)
4) x²+ 25 = 0
x² = -25
x = √-25
obs: não existe nenhum número real que elevado ao quadrado seja igual a -25
2° CASO: Equações da forma ax² + bx = 0 ( c = 0)
Propriedade: Para que um produto seja nulo é preciso que um dos fatores seja zero .
Exemplos
1) resolver x² - 5x = 0
fatorando x ( x – 5) = 0
deixando um dos fatores nulo temos x = 0
e o outro x – 5 = 0 , passando o 5 para o outro lado do igual temos x = 5
logo V= (0 e 5)
2) resolver: 3x² - 10x = 0
fatorando: x (3x – 10) = 0
deixando um dos fatores nulo temos x = 0
Tendo também 3x – 10 = 0
3x = 10
x = 10/3
logo V= (0 e 10/3)
Observe que, nesse caso, uma das raízes é sempre zero.
Propriedade: Para que um produto seja nulo é preciso que um dos fatores seja zero .
Exemplos
1) resolver x² - 5x = 0
fatorando x ( x – 5) = 0
deixando um dos fatores nulo temos x = 0
e o outro x – 5 = 0 , passando o 5 para o outro lado do igual temos x = 5
logo V= (0 e 5)
2) resolver: 3x² - 10x = 0
fatorando: x (3x – 10) = 0
deixando um dos fatores nulo temos x = 0
Tendo também 3x – 10 = 0
3x = 10
x = 10/3
logo V= (0 e 10/3)
Observe que, nesse caso, uma das raízes é sempre zero.
Equação Completa do segundo grau
Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.
Exemplos:
1) 2 x² + 7x + 5 = 0, onde a = 2, b = 7 e c = 5
2) 3 x² + x + 2 = 0, onde a = 3 , b = 1 e c = 2
3) x² -7 x + 10 = 0, onde a = 1, b = -7 e c = 10
4) 5x² - x -3 = 0, onde a = 5, b = -1 e c = -3
Resolução de equações completas do 2° grau
Vamos determinar pelo método resolutivo de Bhaskara os valores da seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0.
Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3.
Na fórmula de Bhaskara utilizaremos somente os coeficientes. Veja:
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1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (Δ )
Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3.
Na fórmula de Bhaskara utilizaremos somente os coeficientes. Veja:
1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (Δ )
Δ = b² – 4 * a * c
Δ = (–2)² – 4 * 1 * (–3)
Δ = 4 + 12
Δ = 16
2º passo
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Os resultados são x’ = 3 e x” = –1.
Exemplo 2
Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0.
Os coeficientes são:
a = 1
b = 8
c = 16
Δ = b² – 4 * a * c
Δ = 8² – 4 * 1 * 16
Δ = 64 – 64
Δ = 0
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No exemplo 2 devemos observar que o valor do discriminante é igual a zero. Nesses casos, a equação possuirá somente uma solução ou raiz única.
Problemas do 2º grau
Um problema é chamado do 2º grau quando pode ser resolvido por meio de uma equação do 2º grau
SOLUÇÃO:
Na resolução de um problema do 2º grau, você deve proceder do seguinte modo:
1) Tradução das sentençãs do problema para a linguagem simbólica.
2) Resolução da equação
3) interpretação das raízes obtidas
Exemplos:
1) A soma de um número com o seu quadrado é 72 . Calcule esse número .
Na resolução de um problema do 2º grau, você deve proceder do seguinte modo:
1) Tradução das sentençãs do problema para a linguagem simbólica.
2) Resolução da equação
3) interpretação das raízes obtidas
Exemplos:
1) A soma de um número com o seu quadrado é 72 . Calcule esse número .
Solução :
= Numero procurado: x
= x + x² = 72
= Resolução: x² + x – 72 = 0
∆= b² - 4ac
∆= 1²- 4 . 1 .(-72)
∆ = 1 + 288
∆= 289
x = -1 +- √289 / 2 . 1
X = (-1 +- 17) / 2
X’ = 16/2 = 8
X” = -18/2 = -9
Resposta : O número é 8 ou -9
2) A diferença entre o quadrado e o triplo de um número é 10. Calcule esse número .
2) A diferença entre o quadrado e o triplo de um número é 10. Calcule esse número .
Solução :
= Numero procurado: x
= x² - 3x = 10
= Resolução: x² - 3x – 10 = 0
∆= b² - 4ac
∆= (-3)²- 4 . 1 .(-10)
∆ = 9 + 40
∆= 49
x = -(-3) +- √49 / 2 . 1
X = (3 +- 7) / 2
X’ = 10/2 = 5
X” = -4/2 = -2
Resposta : O número é 5 ou -2
Exercícios sobre equações do 2º grau
RESOLVA AS EQUAÇÕES DE 2º GRAU
1) x² - 5x + 6 = 0
2) x² - 8x + 12 = 0
3) x² + 2x - 8 = 0
4) x² - 5x + 8 = 0
5) 2x² - 8x + 8 = 0
6) x² - 4x - 5 = 0
7) -x² + x + 12 = 0
8) -x² + 6x - 5 = 0
9) 6x² + x - 1 = 0
10) 3x² - 7x + 2 = 0
6) x² - 4x - 5 = 0
7) -x² + x + 12 = 0
8) -x² + 6x - 5 = 0
9) 6x² + x - 1 = 0
10) 3x² - 7x + 2 = 0
11) 2x² - 7x = 15
12) 4x² + 9 = 12x
13) x² = x + 12
12) 4x² + 9 = 12x
13) x² = x + 12
14) 2x² = -12x - 18
15) x² + 9 = 4x
15) x² + 9 = 4x
16) 25x² = 20x – 4
17) 2x = 15 – x²
18) x² + 3x – 6 = -8
19) x² + x – 7 = 5
17) 2x = 15 – x²
18) x² + 3x – 6 = -8
19) x² + x – 7 = 5
20) 4x² - x + 1 = x + 3x²
21) 3x² + 5x = -x – 9 + 2x²
21) 3x² + 5x = -x – 9 + 2x²
22) 4 + x ( x - 4) = x
23) x ( x + 3) – 40 = 0
23) x ( x + 3) – 40 = 0
24) x² + 5x + 6 = 0
25) x² - 7x + 12 = 0
26) x² + 5x + 4 = 0
27) 7x² + x + 2 = 0
28) x² - 18x + 45 = 0
29) -x² - x + 30 = 0
30) x² - 6x + 9 = 0
25) x² - 7x + 12 = 0
26) x² + 5x + 4 = 0
27) 7x² + x + 2 = 0
28) x² - 18x + 45 = 0
29) -x² - x + 30 = 0
30) x² - 6x + 9 = 0
31) Na equação 3x² - 12 = 0 as soluções são:
a)0 e 1
b)-1 e 1
c)-2 e 2
d)-3 e 3
e)0 e 4
32) Resolva as seguintes equações incompletas do 2° grau
a) x² - 49 = 0
b) x² = 1
c) 2x² - 50 = 0
d) 7x² - 7 = 0
e) 5x² - 15 = 0
f) 21 = 7x²
g) 5x² + 20 = 0
h) 7x² + 2 = 30
i) 2x² - 90 = 8
j) 4x² - 27 = x²
k) 8x² = 60 – 7x²
l) 3(x² - 1 ) = 24
m) 2(x² - 1) = x² + 7
n) 5(x² - 1) = 4(x² + 1)
o) (x – 3)(x + 4) + 8 = x
p) 4x²= 36
q) 4x² - 49 = 0
r) 16 = 9x²
s) 3x² + 30 = 0
t) 9x² - 5 = 0
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 8
34) (CEFET 2001/II FASE-ADAPTADA PARA OBJETIVA - EXAME DE SELEÇÃO ENSINO MÉDIO) Determine o valor de p para que as raízes a e b da equação 2x2 – px – 1 = 0 satisfaçam a relação a2 + b2 = 1.
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
35) (CEFET 2001/Conhecimentos gerais-EXAME DE SELEÇÃO ENSINO MÉDIO - ADAPTADA) Os valores do parâmetro K, para os quais a equação X2 + X + (K2 − 7K ) = 0 tem uma raiz nula, são:
A) 0 e 7
B) 0 e -7
C) -7 e 7
D) -7 e -7
e) 7 e 7
36) Na equação 3x² -10x + 2k -1= 0 , a soma das raízes é igual ao produto. Nessas condições, calcule o valor de k.
37) Na equação (k + 2)x 2 - 5x + 3 = 0 , uma das raízes é igual ao inverso da outra. Nessas condições, calcule o valor de k.
38) Escreva a equação do 2o grau na incógnita x que nos permite calcular dois números reais quando a soma desses números é 7/2 e o produto é 3/2.
39) A raiz quadrada da soma de 13 com a raiz quadrada da soma de 7 com a raiz quadrada da soma de 3 com a raiz quadrada da soma de 1 com a raiz quadrada de um número é igual a 4. Que número é esse ?
40) Na equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, os números a e c têm sinais contrários. Pode-se afirmar que:
a) A equação tem duas raízes reais de sinais contrários.
b) A equação tem duas raízes reais positivas.
c) A equação tem duas raízes reais negativas.
d) A equação pode não ter raízes reais.
e) n.d.a.
41) (PUCCAMP) Se v e w são as raízes da equação x2 + ax + b = 0, onde a e b são coeficientes reais, então v2 + w2 é igual a:
a) a² - 2b
b) a² + 2b
c) a² - 2b²
d) a² + 2b²
e) a² - b²
42) Segundo previsões de um jornal econômico, o PIB anual de um país( Y) ,em bilhões de dólares, daqui a ‘x’ anos poderá ser calculado pela função y = 4/5, x² – 8x + 80. Para quais valores de ‘x’ o PIB anual desse país ultrapassará 140 bilhões de dólares?
43) O produto das raízes da equação 8x2 – 9x + c = 0 é igual a a 3/4. Calcular o valor do coeficiente c.
44) Multiplique o quadrado de um ´número real inteiro por 3 . O resultado é igual ao quíntuplo do mesmo número aumentado de 2 unidades. Qual é esse número?
45) Calcule um número inteiro e positivo tal que seu quadrado menos o dobro desse número seja igual a 48.
Exercícios resolvidos sobre equações do 2º grau
1) Resolva a seguinte equação fracionária do 2º grau.
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Solução:
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2) Determine quais os valores de k para que a equação 2x² + 4x + 5k = 0 tenha raízes reais e distintas
Solução:
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3) Aplicando a fórmula de Bhaskara, resolva as seguintes equações do 2º grau.
a) 3x² – 7x + 4 = 0
b) 9y² – 12y + 4 = 0
c) 5x² + 3x + 5 = 0
Solução:
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4) O produto da idade de Pedro pela idade de Paulo é igual a 374. Pedro é 5 anos mais velho que Paulo. Quantos anos tem cada um deles?
Solução:
Se chamarmos de x a idade de Pedro, teremos que x - 5 será a idade de Paulo. Como o produto das idades é igual a 374, temos que x . (x - 5) = 374.
Esta sentença matemática também pode ser expressa como:
Primeiramente para obtermos a idade de Pedro, vamos solucionar a equação:
As raízes reais encontradas são -17 e 22, por ser negativa, a raiz -17 deve ser descartada. Logo a idade de Pedro é de 22 anos.
Como Pedro é 5 anos mais velho que Paulo, Paulo tem então 17 anos. Logo:
Pedro tem 22 anos e Paulo tem 17 anos.
5) Uma tela retangular com área de 9600 cm² tem de largura uma vez e meia a sua altura. Quais são as dimensões desta tela?
Solução:
Se chamarmos de x altura da tela, temos que 1,5x será a sua largura. Sabemos que a área de uma figura geométrica retangular é calculada multiplicando-se a medida da sua largura, pela medida da sua altura. Escrevendo o enunciado na forma de uma sentença matemática temos:
x . 1,5x = 9600
Que pode ser expressa como:
1,5x2 - 9600 = 0
Note que temos uma equação do 2° grau incompleta, que como já vimos terá duas raízes reais opostas, situação que ocorre sempre que o coeficiente b é igual a zero. Vamos aos cálculos:
As raízes reais encontradas são -80 e 80, no entanto como uma tela não pode ter dimensões negativas, devemos desconsiderar a raiz -80.
Como 1,5x representa a largura da tela, temos então que ela será de 1,5 . 80 = 120. Portanto:
Esta tela tem as dimensões de 80cm de altura, por 120cm de largura.
6) O dobro do quadrado da nota final de Pedrinho é zero. Qual é a sua nota final?
Solução:
Sendo x a nota final, matematicamente temos:
2x2 = 0
Podemos identificar esta sentença matemática como sendo uma equação do segundo grau incompleta, cujos coeficientes b e c são iguais a zero.
Conforme já estudamos este tipo de equação sempre terá como raiz real o número zero. Apenas para verificação vejamos:
7) (ENEM-2009) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros.
Considerando
a)
b)
c)
d)
e)
Solução:
Sendo x o desconto, em centavos, e V o valor, em reais, arrecadado por dia com a venda do álcool, temos que V = [ preço (em reais) ] x [ volume de álcool vendido (em litros)
Simplificando:
8) A soma dos quadrados de dois números positivos e consecutivos é 25 . Calcular esses números
Solução :
= Numero procurado: x e x + 1
= x² + (x + 1)² = 25
= Resolução: x² + x² + 2x + 1 = 25 = 0
= Resolução: 2 x² + 2x – 24 = 0
∆= b² - 4ac
∆= 2²- 4 . 2 .(-24)
∆ = 4 + 192
∆= 196
x = -2 +- √196 / 2 . 2
X = (-2 +- 14) / 4
X’ = 12/4 = 5
X” = -16/4 = -4
Observe: que -4 não serve como resposta, pois, pelo enunciado do problema os números devem ser positivos
Gabarito:
1) 2 e 3 2) 2 e 6 3) 3 e -4 4) vazio 5) 2 6) -1 e 5 7) -3 e 4 8) 1 e 5 9) 1/ e -1/2 10) 2 e 1/3
11) 5 e -1/3 12) 3/2 13) -3 e 4 14) -3 15) vazio 16) 2/5 17) 3 e -5 18) -1 e -2 19) -4 e 3
20) 1 21) -3 22) 1 e 4 23) 5 e -8 24) 2 e -3 25) 3 e 4 26) -1 e -4 27) vazio 28) 3 e 15
29) -6 e 5 30) 3 31) C 32) a) -7 e 7 b) 1 e -1 c) 5 e -5 d) 1 e -1 e) √3 e -√3 f) √3 e -√3 g) vazio h) 2 e -2 i) 7 e -7 j) 3 e -3 k) 2 e -2 l) 3 e -3 m) 3 e -3 n) 3 e -3 o) 2 e -2 p) 3 e -3 q) 7/2 e -7/2 r) 4/3 e -4/3 s) vazio t) √5/3 , -√5/3 33) C 34) A 35) A 36) 11/2 37) 1
38) 2x² - 7x + 3 = 0 39) 0 40) A 41) A 42) x > 15 43) c = 6 44) 2 45) 8
