Relações métricas e razões trigonométricas no triângulo retângulo (com questões)

Relações métricas em um triângulo retângulo

O triângulo é o polígono com menor número de lados, mas é uma das formas geométricas mais importantes no estudo da geometria. Sempre intrigou matemáticos desde a Antiguidade. Triângulo retângulo é aquele que apresenta um ângulo interno medindo 90^o. Esse tipo de triângulo apresenta propriedades e características muito relevantes. Faremos o estudo das relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo.

Todo triângulo retângulo é composto por dois catetos e uma hipotenusa. A hipotenusa é o maior lado do triângulo retângulo e está oposto ao ângulo reto.

Observe a figura abaixo.

Temos que:
a → é a hipotenusa
b e c → são os catetos.

A perpendicular a BC, traçada por A, é a altura h, relativa à hipotenusa do triângulo.

BH = n e CH = m são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

 Os três triângulos são semelhantes

Da semelhança de triângulos obtemos as seguintes relações:

Daí segue que:

b² = am  e ah = bc

Temos, também, as seguintes relações:

E a mais famosa das relações métricas no triângulo retângulo:

a² = b² + c²

Que é o teorema de Pitágoras.

Observe que temos cinco relações métricas no triângulo retângulo:

1. b² = am
2. ah = bc
3. c² = an
4. h² = mn
5. a² = b² + c²

Todas elas são de grande utilidade na resolução de problemas que envolvem triângulos retângulos.

Exemplo. Determine as medidas da altura relativa à hipotenusa e dos dois catetos do triângulo abaixo.

Solução: Temos que

n = 2 cm
m = 3 cm

Utilizando a quarta relação descrita anteriormente, obtemos:

h² = mn
h² = 3∙2
h² = 6
h = √6

Segue que:

a = 2 + 3 = 5 cm

Daí, utilizando a primeira relação, obtemos:

b² = am
b² = 5∙3
b² = 15
b = √15

Da terceira relação, obtemos:

c² = an
c² = 5∙2
c² = 10
c = √10

Razões trigonométricas 

Num triângulo retângulo definimos as chamadas razões trigonométricas que são relações entre os lados do triângulo e que têm a propriedade de determinar a medida dos ângulos do triângulo, uma vez que seus lados sejam conhecidos.

Observe a figura abaixo que representa um triângulo retângulo.

Note que o maior lado é denominado de hipotenusa e os outros dois lados de catetos. A hipotenusa é o lado que fica oposto ao ângulo reto (ângulo de 90^o). Além do ângulo reto, há dois ângulos agudos, α e β. A trigonometria estabelece relações entre os ângulos agudos do triângulo retângulo e as medidas de seus lados. Vejamos quais são essas relações.

O seno de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.

O cosseno de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

A tangente de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.

Definidas as razões trigonométricas, obtemos as seguintes igualdades para o triângulo retângulo abaixo:

Exemplo 1 Determine os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos do triângulo abaixo.

Solução: Temos que

Exemplo 2. Sabendo que sen α =1/2 , determine o valor de x no triângulo retângulo abaixo:

Solução: A hipotenusa do triângulo é x e o lado com medida conhecida é o cateto oposto ao ângulo α. Assim, temos que:

Tabela de Razões Trigonométricas

Os cálculos envolvendo as relações trigonométricas, ao serem efetuados, necessitam de alguns valores de ângulos, que estão presentes na seguinte tabela de razões trigonométricas:

Lei dos Cossenos

Considere um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c:

Para esses triângulos podemos escrever:

Em qualquer triângulo quando um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.

Lei dos Senos

A lei dos senos estabelece a relação entra a mediada de um lado e o seno do ângulo oposto a esse lado. Para um triângulo ABC de lados a, b, c, podemos escrever.

A lei dos senos determina que a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto é constante em um mesmo triângulo.

Fontes: www.infoescola.com

           www.brasilescola.com

           www.alunosonline.com.br

Questões sobre relações métricas e razões trigonométricas no triângulo retângulo

1) (UF – PI) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1 000 metros, qual a altura atingida pelo avião?

Solução:



A altura será de 500 metros.

2) A rua Tenório Quadros e a avenida Teófilo Silva, ambas retilíneas,  cruzam-se conforme um ângulo de 30º. O posto de gasolina Estrela do Sul  encontra-se na avenida Teófilo Silva a 4 000 m do citado cruzamento. Portanto, determine em quilômetros, a distância entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a rua Tenório Quadros?

Solução:





3) (Unisinos – RS) Um avião levanta voo sob um ângulo constante de 20º. Após percorrer 2 000 metros em linha reta, qual será a altura atingida pelo avião, aproximadamente? (Utilize: sem 20º = 0,342; cos 20º = 0,94 e tg 20º = 0,364).

Solução:





4) (Unifor–CE) Sabe-se que em todo triângulo a medida de cada lado é diretamente proporcional ao seno do ângulo oposto ao lado. Usando essa informação, determine a medida do lado AB do triângulo representado: 

5) (FEI-SP) Se em um triângulo ABC o lado AB mede 3 cm, o lado BC mede 4 cm e o ângulo interno formado entre os lados AB e BC medem 60º, determine a medida do lado AC.  

Solução:

6) Calcule o valor da medida x no triângulo representado pela seguinte figura: 

Solução:

7) (PUC-MG) Na figura, AB = 5dm, AD = 5√7 dm, DBC = 60º e DCA = 90º. Determine a medida de CD em decímetros.

Solução:

8) Em um triangulo retângulo, sua altura(h) é = 5 e sua hipotenusa(a) é =26. Calcule o cateto b (cateto maior).

Vamos recordar as relações métricas em um triângulo retângulo:
a = m + n
b² = a.m
c² = a.n
b.c = a.h
h² = m.n
a² = b² + c²

no exercício dado, sabemos que

h = 5
a = 26

observe que nenhuma das relações métricas envolve apenas essas duas medidas
vamos ter que encontrar um caminho.
Façamos, primeiro:
m + n = a
m + n = 26
n = 26 - m (I)
b² = a . m (onde m é a maior das projeções)
b² = 26m (II)

c² = a.n
c² = 26n --> c² = 26(26 - m) --> c² = 676 - 26m (III)

b . c = a . h
b . c = 26 . 5
b . c = 130
eleva ao quadrado:
b² c² = 16900
substitui (II) e (III)

26m ( 676 - 26m) = 16900
17576m - 676m² = 16900

676m² - 17576m + 16900 = 0 --> simplifica por 676
m² - 26m + 25 = 0

resolve por báskara ou pela soma e produto:
m' = 25
m" = 1 (despreza por ser o menor)

b² = 26m (II)
b² = 25 . 26 ==> b = 5√26 m que é o cateto maior

como a = m + n
n = 1
c² = 26n --> c² = 26 --> c= √26 m que é o cateto menor


Poderíamos também usar outras duas relações métricas:

h = m.n ---> m . n = 25 (I)
a = m + n --> m + n = 26 donde m = 26 - n (II)

Substitui (II) em (I)
( 26 - n ) . n = 25
n² - 26n + 25 = 0

resolvendo por báskara ou pela soma e produto:
n' = 1
n" = 25 (despreza, pois consideramos inicialmente que m é a maior)

como
m = 26 - n (II)
m = 26 - 1
m = 25

assim, sabendo que
b² = a.m
temos
b² = 26 . 25
b = √ 5² . 26
b = 5 √ 26
logo, o cateto maior b = 5 √26 m

9) No triângulo retângulo abaixo determinar a hipotenusa, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa e a altura relativa a hipotenusa:

Resolução:

Pelo teorema de Pitágoras temos:

x² = 5² + 12²

x² = 169

x = 13

Aplicando as relações de projeções de catetos, vem:

5² = x . z

13 . z = 25

z = 25 / 13

12² = x . t

13 . t = 144

t = 144 / 13

Aplicando a relação do produto dos catetos, vem:

x . y = 5 . 12

13 . y = 60

y = 60 / 13

10) Dado o triângulo retângulo ABC, reto em A, representado na figura abaixo, calcule os valores desconhecidos (x, m, n e h).

x = 4 m,

h = 12/5 m = 2,4 m,

m = 9/5 m = 1,8 m,

n = 16/5 m =3,2 m

11) Se cada ângulo de um triângulo equilátero mede 60 º, calcule a medida da altura de um triângulo equilátero de lado 20 cm.

12) Calcular os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 6 cm e um dos ângulos mede 60º.

13) Encontre x e y:

a)           b) 

14) Encontre a medida RA sabendo que tg  = 3.

15) (MAPOFEI) Na figura abaixo, AB = 4 cm, Â = 30º e ângulo C = 45°. Calcular BH.

16) Um alpinista deseja calcular a altura de uma encosta que vai escalar. Para isso, afasta-se, horizontalmente, 80 m do pé da encosta e visualiza o topo sob um ângulo de 55º com o plano horizontal. Calcule a altura da encosta. (Dados: sem 55º = 0,81, cos 55º = 0,57 e tg 55º = 1,42).

17) Uma escada encostada em um edifício tem seus pés afastados a 50 m do edifício, formando assim, com o plano horizontal, um ângulo de 32º. A altura do edifício é aproximadamente: (sen 32º = 05299, cos 32′ = 0,8480 e tg 32º = 0,6249)

a) 28,41m       b) 29,87m         c) 31,24 m           d) 34,65 m

18)  (Cesgranrio-RJ) Num triângulo retângulo em A, a altura relativa à hipotenusa mede 12, e o menor dos segmentos que ela determina sobre a hipotenusa, 9. O menor lado do triângulo mede:

a) 12,5             b) 13              c) 15              d) 16               e) 16,5

19) (FATEC-SP) Se os catetos de um triângulo retângulo T, medem, respectivamente, 12 cm e 5 cm, então a altura de T relativa à hipotenusa é:

a) 12/5 m            b) 5/13 m          c) 12/13 m           d) 25/13 m            e) 60/13 m

20)  Dado o triângulo retângulo ABC, reto em A, representado na figura abaixo, calcule os valores desconhecidos (x, m, n e h).

21) O valor de y no triângulo abaixo é:

a)   b)   c)  d) ½   e) 4

Gabarito:

11) 10√3    12) 3√3 e 3   13) y = 3,78 e x = 8,19  14) a) x = 20 e y = 20  b) x = 9 e y = 18  

15) tg  = 1 e tg Ê = 1   16) 2 cm  14) 113,6 m  17) 31,24 m  18) C  19) E  20) x = 4 m, h = 12/5 m = 2,4 m, m = 9/5 m = 1,8 m, n = 16/5 m =3,2 m  21) C