Porcentagem
Porcentagem é uma fração de denominador centesimal, ou seja, é uma fração de denominador 100. Representamos porcentagem pelo símbolo % e lê-se: “por cento”.
Deste modo, a fração
é uma porcentagem que podemos representar por 20%.Exemplo:
Exemplo 2: Maria juntou 45% do seu salário que é de R$ 900,00. Quanto de dinheiro Maria juntou?
45% de 900 = 45/100 * 900 = 405. Assim, Maria juntou R$ 405,00.
Exemplo 3: O preço de uma casa sofreu um aumento de 20%, passando a ser vendida por 35 000 reais. Qual era o preço desta casa antes deste aumento?
Porcentagem Preço
120 35 000
100 x
Logo, o preço anterior era 29 166,67
O cálculo de percentagens compostas ou concatenadas
Estamos falando de situações como a seguinte:
Se a inflação de novembro foi 3% e a de dezembro foi 5%, qual a inflação dos dois meses?
A enorme maioria das pessoas acha que esse tipo de problema resolve-se por soma. Isso é totalmente errado. Problemas deste tipo são resolvidos por multiplicação. Vejamos:
Se no início de novembro, um produto custava p reais, no início de dezembro ele custará p reais mais 3% de p, ou seja, custará p' = p + 0,03 p = 1,03 p.
O novo preço p' terá subido, no início de janeiro, para:
p''= 1,05 p' = 1,05 x 1,03 p = 1,0815 p .
Conseqüentemente, a inflação total foi de 8,15 %.
É simplesmente fundamental que V. entenda isso. Para tal, faça os seguintes problemas, de ordem crescente de dificuldade:
EXERCÍCIO 1
Maria e José ficaram janeiro e fevereiro na praia. Maria engordou 10% em jan e 20% em fev, já José engordou 20% em jan e 10% em fev. Quem engordou mais?
RESPOSTA: sabendo que podemos fazer o produto de dois números em qualquer ordem, sem alterar o resultado, é desnecessário fazer qualquer conta para ver que os dois engordaram o mesmo percentual .
EXERCÍCIO 2
Se nossa Maria tivesse engordado 10% em jan, mas emagrecido 10% em fev, qual o efeito total?
RESPOSTA: pelo que já vimos, espero que V. tenha saído da vala comum da imensa maioria dos vestibulandos, os quais acham que o efeito total é zero ( pois 10 - 10 = 0 ). Claro que não é, pois 1,10 x 0,90 não é 1, mas 0,99 ( ie, Maria emagreceu 1%)
EXERCICIO 3
Se uma caderneta de poupança rende 0,5% ao mês, uma aplicação de 300 reais terá que saldo após 8 meses?
RESPOSTA: V. já sabe que o juro pago não é 8 x 0,5 = 4 % e que então o saldo não é 1,04 x 300 , mas sim :
1,0058 x 300 = 1,040707 x 300 = 312,21
EXERCÍCIO 4
(Unicamp-SP) Como se sabe, os icebergs são enormes blocos de gelo que se desprendem das geleiras polares e flutuam pelos oceanos. Suponha que a parte submersa de um iceberg corresponda a 8/9 do seu volume total e que o volume da parte não submersa é de 135 000 m³.
a) Calcule o volume total do iceberg.
b) Calcule o volume de gelo puro do iceberg supondo que 2% de seu volume total é constituído de “impurezas”, como matéria orgânica, ar e minerais.
b) Calcule o volume de gelo puro do iceberg supondo que 2% de seu volume total é constituído de “impurezas”, como matéria orgânica, ar e minerais.
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Aumentos e diminuições percentuais
A rigor já trabalhamos com isso acima, no exercício 2. Examinemos novamente a idéia envolvida, usando exemplo:
Se as vendas de uma empresa aumentaram 20%, então elas passaram de v para v + 0,20 v = 1,20 v.
Se as vendas de uma empresa diminuiram 20%, então elas passaram de v para v - 0,20 v = 0,80 v.
EXERCICIO 4
Se o lucro mensal de uma empresa aumentar e diminuir, alternadamente, 10% ao mês, mostre que no final de um ano o lucro estará em 94% do lucro no início do ano. Consequentemente, terá havido uma diminuição anual de 6%.
EXERCICIO 5
A ocorrência do ciclo verão-inverno, ao contrário do que acha a vasta maioria das pessoas, não é governada pela menor ou maior proximidade da Terra em relação ao Sol, mas pela inclinação do eixo de rotação da Terra.
Contudo, pode-se observar que o verão do hemisfério-sul ( HS ) é mais quente do que o verão do hemisfério-norte ( HN ). Para isso aponta-se duas causas:
- a distância Terra ao Sol no verão do HS é 4 % menor do que a correspondente distância no verão do HN.
- o HS tem mais oceanos
Pede-se: levando em conta apenas a primeira dessas causas, calcular em quantos percentos o verão do HS é mais quente do que o verão do HN.
(NOTA: a partir de perguntas de vários de nossos visitantes, informamos que não está faltando nenhum dado numérico para se resolver este problema! Por outro lado, por "mais quente" queremos dizer "recebe mais energia calorífica")
RESPOSTA: 8.5 %
Pontos percentuais
A noção de "pontos percentuais", atualmente, é bastante empregada nos meios de comunicação de massa e pelos economistas brasileiros. Seu significado pode ser facilmente entendido a partir de alguns exemplos:
Se a inflação subiu de 5% para 10%, podemos tanto dizer que houve um aumento de 100% na inflação como dizer que a inflação subiu cinco pontos percentuais
se o imposto XYZ subiu de 2% para 3%, é a mesma coisa dizer que o aumento foi de 50% e dizer que o imposto subiu um ponto percentual
Se a taxa de juros passou de 20% para 50%, esse aumento pode ser descrito como sendo um aumento de 150% ou como sendo um aumento de trinta pontos percentuais.
Lucro
Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e o preço de custo.
Lucro = preço de venda – preço de custo.
Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de prejuízo.
Assim, podemos escrever:
Preço de custo + lucro = preço de venda.
Preço de custo – prejuízo = preço de venda.
Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:
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Observação – A mesma análise pode ser feita para o caso de prejuízo.
Lucro
Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e o preço de custo.
Lucro = preço de venda – preço de custo.
Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de prejuízo.
Assim, podemos escrever:
Preço de custo + lucro = preço de venda.
Preço de custo – prejuízo = preço de venda.
Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:
Observação – A mesma análise pode ser feita para o caso de prejuízo.
Fonte: www.mundoescola.com.br
www.profcardy.com
www.interna.coeducaçao.com.br
Questões sobre Porcentagem
1) O aumento salarial de uma certa categoria de trabalhadores seria de apenas 6%, mas devido à intervenção do seu sindicato, esta mesma categoria conseguiu mais 120% de aumento sobre o percentual original de 6%. Qual foi o percentual de reajuste conseguido?
Estamos falando de acréscimo de porcentagem de porcentagem, já que os 6% originais foram aumentados em 120%. Vejamos como vai ficar a resolução:
Ou seja, o aumento conseguido foi de 13,2%, mas podemos pensar na resolução do problema de uma outra forma:
O aumento conseguido originalmente era de 6%, este percentual equivale a 100% do aumento conseguido, mas como conseguiu-se mais 120% de aumento, então o passamos a ter 220% ( 100% + 120%) de aumento sobre os 6%, logo o problema consiste em se calcular 220% de 6%:
Portanto:
O percentual de reajuste conseguido pela categoria foi 13,2%.
2) Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$ 2.204,00 pelo mesmo. Sabe-se que foi obtido um desconto de 5% sobre o preço de etiqueta. Se a compra tivesse sido à vista, o guarda-roupa teria saído por R$ 1.972,00. Neste caso, qual teria sido o desconto obtido?
Como o guarda-roupa foi comprado com 5% de desconto, isto equivale a dizer que foi comprado por 95% (0,95 na forma decimal) do seu preço:
Dividindo-se 2204 por 0,95, iremos obter o preço do produto sem qualquer desconto:
Como o preço à vista seria de R$ 1.972,00 e o preço sem nenhum desconto é de R$ 2.320,00, o desconto obtido seria de R$ 348,00:
Resta-nos calcular quantos por cento é 348 de 2320, o que podemos fazer dividindo-se 348 por 2320:
0,15 é o resultado procurado, mas na forma decimal, multiplicando-o por 100% iremos obter o resultado na forma percentual:
15%
Portanto se o guarda-roupa tivesse sido comprado à vista, o desconto percentual teria sido de 15%
3) Você compra um carro por R$ 20000 e vende-o com lucro de R$ 4000,00. Qual é a porcentagem de lucro, ou seja, quantos por cento eu lucrei em cima de 20000?
Vamos calcular X/100 (X%) pela expressão (para lucro):
Novo preço = preço antigo + X/100 do preço antigo.
4) Um Pen-Drive custa R$ 42,00. O vendedor faz a você um abatimento de 15% sobre o preço do Pen-Drive. Quanto você vai pagar?
Aqui foi dado o X/100 = 15%.
Vamos calcular o Novo preço pela expressão (para abatimento do preço):
Novo preço = preço - X/100 do preço. Vamos chamar novo preço de X.
Portanto, vou pagar R$ 35,70.
Para sua reflexão: Para obter a resposta, o vendedor poderia multiplicar R$ 42,00 por 0,85? Sim, resultaria em R$ 35,70.
5) (Fundação Carlos Chagas - Escriturário BB - 2011) Em dezembro de 2007, um investidor comprou um lote de ações de uma empresa por R$ 8 000,00. Sabe-se que: em 2008 as ações dessa empresa sofreram uma valorização de 20%; em 2009, sofreram uma desvalorização de 20%, em relação ao seu valor no ano anterior; em 2010, se valorizaram em 20%, em relação ao seu valor em 2009.
De acordo com essas informações, é verdade que, nesses três anos, o rendimento percentual do investimento foi de:
a) 20%.
b) 18,4%.
c) 18%.
d) 15,2%.
e) 15%.
Resolução:
Resolução:
120 x 80 x 120 = 1152000 = 15,2 = 115,2%
100 100 100 100 100
6) (PM - ES - 2013). A Banda Junior da PMES atualmente atende cerca de 250 alunos da rede pública de ensino da Grande Vitória. Desde sua criação, já passaram pela Banda Júnior cerca de 1.000 alunos. O percentual de alunos, atualmente atendidos por esse projeto cultural da PMES, em relação ao total de alunos que já passaram por ele desde a sua criação corresponde a:
a) 15%
b) 20%
c) 25% Basta efetuarmos a divisão:
d) 30% 250/1000 = 0,25 ou 25%
e) 35%
Note que as ações valorizam/desvalorizam em relação ao ano anterior, por isso não podemos simplesmente somar/subtrair as taxas de variação.
7) 30% da população de uma cidade litorânea mora em uma área insular e os demais 337.779 habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha?
30% ----- x
70% ----- 337799
x = 337799 . 30 / 70
x = 144771 habitantes mora na área insular
Total de pessoas = 144771 + 337799
T = 482570 habitantes.
8) Do preço de venda de um artigo de informática, 30% correspondem impostos e comissões pagos pelo logista. Do restante, 60% correspondem ao preço de custo desse produto. Se o restante representa o lucro, então pode-se afirmar que esse lucro representa:
a) 28%
b) 40%
c) 50%
d) 20%
e) 25%
Resolução:
30% do total = impostos
60% do restante = preço de custo
60% . 70% = preço de custo
0,6 . 70% = 42%
Lucro:
100% - 30% - 42% = 28%. Letra A.
9) (VUNESP-SP) Num tonel de forma cilíndrica está depositada uma quantidade de vinho que ocupava a metade de sua capacidade.
Retirando-se 40 litros do seu conteúdo a altura do nível de vinho baixa para 20%. O numero que expressa a capacidade desse tonel em litros é:
a) 200
b) 300
c) 400
d) 500
e) 800
Resolução:
Se quando retirou 20%, perdeu 40 L, pode utilizar a regra de três. Sabendo que se procura a capacidade a 100%.
20____40
100___x
20x=4000
x=4000/20
x=200
letra A.
10) a mercadoria foi comprada por R$ 500,00 e vendida por R$ 800,00. Pede-se:
a) o lucro obtido na transação;
b) a porcentagem de lucro sobre o preço de custo;
c) a porcentagem de lucro sobre o preço de venda.
Resolução:
a) Lucro = 800 – 500
Lucro = R$ 300,00
b) LC =
= 0,60 = 60%
c) LV =
= 0,375 = 37,5%
100___x
20x=4000
x=4000/20
x=200
letra A.
10) a mercadoria foi comprada por R$ 500,00 e vendida por R$ 800,00. Pede-se:
a) o lucro obtido na transação;
b) a porcentagem de lucro sobre o preço de custo;
c) a porcentagem de lucro sobre o preço de venda.
Resolução:
a) Lucro = 800 – 500
Lucro = R$ 300,00b) LC =
= 0,60 = 60%c) LV =
= 0,375 = 37,5%
11) Numa cidade de 50000 habitantes, 42000 têm menos de 40 anos de idade. Qual é a porcentagem dos que têm 40 anos ou mais?
12) Sabe-se que R$ 500,00 representam x% de R$ 2.500,00, que 12 gramas são y% de 96 gramas e que 1.200 m² equivalem a z% de 60km². Os valores de x, y e z são, respectivamente:
a) 10, 12; 2
b) 20, 12,5; 0,2
c) 20; 12,5; 0,002
d) 2; 12; 0,002
e) 20; 12; 0,002
13) (PUC - RS) Se x% de y é igual a 20, então y% de x é igual a:
a) 2 b) 5 c) 20 d) 40 e) 80
14) É correto afirmar que 5% de 8% de x é igual a:
a) 0,04% de x
b) 4% de x
c) 40% de x
d) 0,004% de x
e) 0,4% de x
15) (VUNESP) Uma mercadoria teve seu preço acrescido de 10%. Tempos depois, esse novo preço sofreu um desconto de 10%. Denotando-se por pi o preço inicial e por pf o preço final da mercadoria, tem-se:
a) pf = 101% pi
b) pf = pi
c) pf = 99,9% pi
d) pf = 99% pi
e) pf = 90% pi
16) Um vendedor ambulante vende vende seus produtos com lucro de 50% sobre o preço de venda. Então, seu lucro sobre o preço de custo é de:
a) 10%
b) 25%
c) 33,333%
d) 100%
e) 120%
17) Quanto é 15% de 80?
19) Eu tenho 20 anos. Meu irmão tem 12 anos. A idade dele é quantos por cento da minha?
20) Meu carro alcança uma velocidade máxima de 160 km/h. O carro de meu pai atinge até 200 km/h. A velocidade máxima do carro do meu pai é quantos por cento da velocidade máxima do meu carro?
A) 29,6%
B) 30,0%
C) 30,4%
D) 30,8%
E) 31,4%
A) 76%.
B) 81%.
C) 85%.
D) 90%
23) (UDESC 2010) No final do primeiro semestre deste ano, 40 acadêmicos participaram de uma pesquisa que objetivou analisar a frequência com que estes utilizaram o atendimento extraclasse do professor e/ou do monitor de uma determinada disciplina. Obteve-se o seguinte resultado: 20% dos acadêmicos procuraram atendimento tanto do professor quanto do monitor; 30% dos acadêmicos procuraram somente o atendimento do monitor; 15% dos acadêmicos não opinaram e 4 acadêmicos não procuraram atendimento do professor nem do monitor. Então o número de acadêmicos que procurou o atendimento somente do professor é igual a:
A) 24
B) 18
C) 8
D) 10
E) 20
24) (PUC-RIO 2007) 30% de 30% são:
A) 3000%.
B) 300%.
C) 900%
D) 9%.
E) 0,3%.
25) (PUC-RIO 2009) Em um viveiro há várias araras.
- N 60% das araras são azuis,
- N 40% das araras são vermelhas,
- N 40% das araras azuis têm bico branco,
- N 30% das araras vermelhas têm bico branco.
Que porcentagem das araras do viveiro tem bico branco?
A) 10%
B) 12%
C) 24%
D) 36%
E) 40%
26) (PUC-RIO 2010) Em uma turma de Ciências da Computação formada de 40rapazes e 40 moças, tem-se a seguinte estatística:20% dos rapazes são fumantes;30% das moças são fumantes.Logo, a porcentagem dos que não fumam na turma é de:
A) 25%
B) 50%
C) 60%
D) 65%
E) 75%
27) (CESGRANRIO-2011) Rômulo tem R$ 220,00, Natanael tem R$ 350,00 e Vitor nada tem. Rômulo e Natanael dão parte de seu dinheiro a Vitor, de forma que todos acabam ficando com a mesma quantia. O dinheiro dado por Natanael representa, aproximadamente, quantos por certo do aquele possuía?
a) 19,5%
b) 21,1%
c) 33,4%
d) 45,7%
e) 52,3%
28) (VUNESP) Um investidor aplicou certa quantia em um fundo de ações. Nesse fundo, 1/3 das ações eram da empresa A, 1/2 eram da empresa B e as restantes, da empresa C. Em um ano, o valor das ações da empresa A aumentou 20%, o das ações da empresa B diminuiu 30% e o das ações da empresa C aumentou 17%. Em relação á quantia total aplicada, ao final desse ano, este investidor obteve:
a) lucro de 10,3%
b) lucro de 7,0%
c) prejuízo de 5,5%
d) prejuízo de 12,4%
e) prejuízo de 16,5%
29) (PM-Louveira-Vunesp) Em um programa social desenvolvido pela prefeitura de um município, inscreveram-se 900 famílias carentes. A prefeitura começou implementar esse programa atendendo, no 1º mês 15% dessas famílias e, em cada mês seguinte, até o 3º mês, 30 famílias a mais que o mês imediatamente anterior. Após esses três meses, o programa já havia atendido, do total de famílias.
a) 21%
b) 40%
c) 45%
d) 52%
e) 55%
a) R$ 25,00
b) R$ 30,00
c) R$ 40,00
d) R$ 50,00
e) R$ 60,00
31) (ENEM - 2010) Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir.
Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente?
A) 3 doses.
B) 4 doses.
C) 6 doses.
D) 8 doses.
E) 10 doses.
32) (ENEM - 2010) João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitasse esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado.
A opção que dá a João o menor gasto seria
A) renegociar suas dívidas com o banco.
B) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas.
C) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos.
D) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do cartão de crédito.
E) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do cheque especial.
33) (UFMG-2007) Um carro bicombustível percorre 8 km com um litro de álcool e 11 km com um litro do combustível constituído de 75% de gasolina e de 25% de álcool, composição adotada, atualmente, no Brasil.
Recentemente, o Governo brasileiro acenou para uma possível redução, nessa mistura, da porcentagem de álcool, que passaria a ser de 20%.
Suponha que o número de quilômetros que esse carro percorre com um litro dessa mistura varia linearmente de acordo com a proporção de álcool utilizada.
Então, é CORRETO afirmar que, se for utilizado um litro da nova mistura proposta pelo Governo, esse carro percorrerá um total de
A) 11,20 km .
B) 11,35 km .
C) 11,50 km .
D) 11,60 km .
34) (UFPE-2006) Segundo pesquisa recente, 7% da população brasileira é analfabeta, e 64% da população de analfabetos é do sexo masculino. Qual percentual da população brasileira é formada por analfabetos do sexo feminino?
A) 2,52%
B) 5,20%
C) 3,60%
D) 4,48%
E) 3,20%.
35) (UFPE-2001) O custo da cesta básica aumentou 1,03% em determinada semana. O aumento foi atribuído exclusivamente à variação do preço dos alimentos que subiram 1,41%. Qual o percentual de participação dos alimentos no cálculo da cesta básica (indique o valor mais próximo)?
A) 73%
B) 74%
C) 75%
D) 76%
E) 77%.
36) (FUVEST) Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20% respectivamente, a área do retângulo é aumentada de:
(A) 35%
(B) 30%
(C) 3,5%
(D) 3,8%
(E) 38%
37) Um trabalhador comprou uma bicicleta, conseguindo um abatimento de 10% sobre o preço marcado. Do valor a ser pago, 40% foi dado como entrada e o restante foi pago em 5 parcelas sem juros, no valor de R$ 41,04 cada. O valor do abatimento obtido foi
(A) R$ 32,00.
(B) R$ 35,00.
(C) R$ 38,00.
(D) R$ 40,00.
(E) R$ 42,00.
38) (UFSC) De uma excursão participam 280 pessoas, sendo que 40% do número de homens é igual a 30% do número de mulheres. O número de homens é:
a) 208
b) 120
c) 180
d) 140
e) 210
39) (UFRS-2005) Uma pessoa gastava, em julho de 1994, apenas 100 reais para comprar o que, em julho de 2004, custava 270 reais. De acordo com essa informação, o percentual mais próximo da perda do poder de compra do real nesse período de 10 anos é o da alternativa
A) 37% B) 63% C) 80% D) 170% E) 270%
40) (IBMEC-2007) Uma mercadoria sofreu um aumento de (2x)%, sendo x um número positivo. Algum tempo depois, em uma promoção, ela foi vendida com desconto de x%. Se o total pago pelo cliente nessa ocasião foi igual ao preço da mercadoria praticado antes do aumento, o valor de x é aproximadamente
a) 33,3.
b) 41,4.
c) 50,0.
d) 66,7.
e) 100,0.
Gabarito:
11) 16% 12) C 13) C 14) E 15) D 16) D 17) 12 19) 60% 20) 25% 21) A 22) D 23) D 24) D 25) D 26) E 27) D 28) C 29) E 30) B 31) B 32) E 33) A 34) A 35) A 36) E 37) C 38) B 39) B 40) C
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