Equações do 2º grau completas e incompletas (com exercícios)

Você sabe qual a diferença entre uma equação de 1º grau e uma de 2º? Está enganado quem achar que o nome tem a ver com ensino fundamental ou médio! O que determina o grau de uma equação é o expoente (a potência) da incógnita (a letra, geralmente x e y. Nas de 2^o grau, o maior expoente da incógnita é 2.

Existem equações de 3^o grau, 4^o grau etc. Por exemplo, a equação 6x + 5x⁴ + 45x² = 0 é uma equação do 4^o grau, pois o maior expoente da incógnita x é 4.

Raízes da equação:

A solução de uma equação é chamada de raiz. O número de raízes possíveis de uma equação é igual ao seu grau. Equações de 2^o grau possuem, então, no máximo duas raízes; equações de 3^o grau possuem no máximo 3 raízes, etc.

Equações de 2^o grau incompletas

Algumas equações do 2^o grau são de fácil solução:

Por exemplo: qual o número que elevado ao quadrado resulta 25?

Equacionando o problema:

x² = 25

Há dois números que satisfazem essa condição, ou há dois números que são raízes da equação (já que ela é de 2º grau).

Veja a resolução:

x = 

X = 

5 e - 5 são raízes da equação de 2^o grau x² = 25

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU INCOMPLETAS

Resolver uma equação é determinar todas as suas soluções. Vejamos, através de exemplos, como se resolvem as equações incompletas do 2° grau


1° CASO – equações da forma ax² + c = 0, (b = 0)

Exemplos:

1) x² - 25 = 0
    x² = 25
    x = √25
    x = 5
logo V= (+5 e -5)

2) 2x² - 18 = 0
    2x² = 18
     x² = 18/2
     x² = 9
     x = √9
     x = 3
logo V= (-3 e +3)

3) 7x² - 14 = 0
    7x² = 14
      x² = 14/7
      x² = 2
      x = √2
logo V = (-√2 e +√2)

4) x²+ 25 = 0
    x² = -25
    x = √-25

obs: não existe nenhum número real que elevado ao quadrado seja igual a -25

2° CASO: Equações da forma ax² + bx = 0 ( c = 0)

Propriedade: Para que um produto seja nulo é preciso que um dos fatores seja zero .

Exemplos

1) resolver x² - 5x = 0
fatorando x ( x – 5) = 0

deixando um dos fatores nulo temos x = 0

e o outro x – 5 = 0 , passando o 5 para o outro lado do igual temos x = 5

logo V= (0 e 5)

2) resolver: 3x² - 10x = 0
fatorando: x (3x – 10) = 0

deixando um dos fatores nulo temos x = 0

Tendo também 3x – 10 = 0
3x = 10
x = 10/3

logo V= (0 e 10/3)

Observe que, nesse caso, uma das raízes é sempre zero.

Equação Completa do segundo grau

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

1) 2 x² + 7x + 5 = 0, onde a = 2, b = 7 e c = 5

2) 3 x² + x + 2 = 0, onde a = 3 , b = 1 e c = 2

3)  x² -7 x + 10 = 0, onde a = 1, b = -7 e c = 10

4) 5x² - x -3 = 0, onde a = 5, b = -1 e c = -3

Resolução de equações completas do 2° grau

Vamos determinar pelo método resolutivo de Bhaskara os valores da seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0.

Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3.

Na fórmula de Bhaskara utilizaremos somente os coeficientes. Veja:




1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (Δ )

Δ = b² – 4 * a * c
Δ  = (–2)² – 4 * 1 * (–3)
Δ  = 4 + 12
Δ  = 16

2º passo


Os resultados são x’ = 3 e x” = –1.


Exemplo 2

Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0.

Os coeficientes são:
a = 1
b = 8
c = 16

Δ  = b² – 4 * a * c
Δ  = 8² – 4 * 1 * 16
Δ  = 64 – 64
Δ = 0

No exemplo 2 devemos observar que o valor do discriminante é igual a zero. Nesses casos, a equação possuirá somente uma solução ou raiz única.

Problemas do 2º grau 

Um problema é chamado do 2º grau quando pode ser resolvido por meio de uma equação do 2º grau

SOLUÇÃO:

Na resolução de um problema do 2º grau, você deve proceder do seguinte modo:

1) Tradução das sentençãs do problema para a linguagem simbólica.

2) Resolução da equação

3) interpretação das raízes obtidas


Exemplos:

1) A soma de um número com o seu quadrado é 72 . Calcule esse número .

Solução :

= Numero procurado: x

= x + x² = 72

= Resolução: x² + x – 72 = 0

∆= b² - 4ac

∆= 1²- 4 . 1 .(-72)

∆ = 1 + 288

∆= 289

x = -1 +- √289 / 2 . 1

X = (-1 +- 17) / 2

X’ = 16/2 = 8

X” = -18/2 = -9

Resposta : O número é 8 ou -9



2)  A diferença entre o quadrado e o triplo de um número é 10. Calcule esse número .

Solução :

= Numero procurado: x

=  x²  - 3x = 10

= Resolução: x² - 3x – 10 = 0

∆= b² - 4ac

∆= (-3)²- 4 . 1 .(-10)

∆ = 9 + 40

∆= 49

x = -(-3) +- √49 / 2 . 1

X = (3 +- 7) / 2

X’ = 10/2 = 5

X” = -4/2 = -2

Resposta : O número é 5 ou -2

Fontes: http://www.brasilescola.com/matematica/equacao-2-grau.htm

             http://jmpmat5.blogspot.com.br/

             http://exercicios.brasilescola.com/matematica/exercicios-sobre-equacao-2-o-grau.htm

Exercícios sobre equações do 2º grau

RESOLVA AS EQUAÇÕES DE 2º GRAU


1) x² - 5x + 6 = 0 
2) x² - 8x + 12 = 0 
3) x² + 2x - 8 = 0

4) x² - 5x + 8 = 0 

5) 2x² - 8x + 8 = 0
6) x² - 4x - 5 = 0
7) -x² + x + 12 = 0
8) -x² + 6x - 5 = 0
9) 6x² + x - 1 = 0
10) 3x² - 7x + 2 = 0 

11) 2x² - 7x = 15 
12) 4x² + 9 = 12x
13) x² = x + 12 

14) 2x² = -12x - 18 
15) x² + 9 = 4x

16) 25x² = 20x – 4 
17) 2x = 15 – x² 
18) x² + 3x – 6 = -8
19) x² + x – 7 = 5 

20) 4x² - x + 1 = x + 3x² 
21) 3x² + 5x = -x – 9 + 2x²

22) 4 + x ( x - 4) = x
23) x ( x + 3) – 40 = 0 

24) x² + 5x + 6 = 0 
25) x² - 7x + 12 = 0 
26) x² + 5x + 4 = 0 
27) 7x² + x + 2 = 0 
28) x² - 18x + 45 = 0 
29) -x² - x + 30 = 0
30) x² - 6x + 9 = 0 

31) Na equação 3x² - 12 = 0 as soluções são:

a)0 e 1
b)-1 e 1
c)-2 e 2 
d)-3 e 3
e)0 e 4

32) Resolva as seguintes equações incompletas do 2° grau

a) x² - 49 = 0

b) x² = 1 

c) 2x² - 50 = 0 

d) 7x² - 7 = 0 

e) 5x² - 15 = 0 

f) 21 = 7x² 

g) 5x² + 20 = 0 

h) 7x² + 2 = 30 

i) 2x² - 90 = 8 

j) 4x² - 27 = x² 

k) 8x² = 60 – 7x² 

l) 3(x² - 1 ) = 24 

m) 2(x² - 1) = x² + 7 

n) 5(x² - 1) = 4(x² + 1) 

o) (x – 3)(x + 4) + 8 = x 

p) 4x²= 36 

q) 4x² - 49 = 0 

r) 16 = 9x² 

s) 3x² + 30 = 0 

t) 9x² - 5 = 0

33)  (CEFET 2003/EXAME DE SELEÇÃO ENSINO MÉDIO - CG)Sejam x1 e x2 as raízes da equação 2x2 - 6x + p - 2 = 0. Se, então P é igual a:

a) 1 

b) 3 

c) 5 

d) 7

e) 8

34) (CEFET 2001/II FASE-ADAPTADA PARA OBJETIVA - EXAME DE SELEÇÃO ENSINO MÉDIO) Determine o valor de p para que as raízes a e b da equação 2x2 – px – 1 = 0 satisfaçam a relação a2 + b2 = 1.

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

35) (CEFET 2001/Conhecimentos gerais-EXAME DE SELEÇÃO ENSINO MÉDIO - ADAPTADA) Os valores do parâmetro K, para os quais a equação X2 + X + (K2 − 7K ) = 0 tem uma raiz nula, são:

A) 0 e 7 

B) 0 e -7

C) -7 e 7 

D) -7 e -7

e) 7 e 7

36) Na equação 3x² -10x + 2k -1= 0 , a soma das raízes é igual ao produto. Nessas condições, calcule o valor de k.

37) Na equação (k + 2)x 2 - 5x + 3 = 0 , uma das raízes é igual ao inverso da outra. Nessas condições, calcule o valor de k.

38) Escreva a equação do 2o grau na incógnita x que nos permite calcular dois números reais quando a soma desses números é 7/2 e o produto é 3/2.

39) A raiz quadrada da soma de 13 com a raiz quadrada da soma de 7 com a raiz quadrada da soma de 3 com a raiz quadrada da soma de 1 com a raiz quadrada de um número é igual a 4. Que número é esse ?

40) Na equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, os números a e c têm sinais contrários. Pode-se afirmar que:

a) A equação tem duas raízes reais de sinais contrários.

b) A equação tem duas raízes reais positivas.

c) A equação tem duas raízes reais negativas.

d) A equação pode não ter raízes reais.  

e) n.d.a. 

41) (PUCCAMP) Se v e w são as raízes da equação x2 + ax + b = 0, onde a e b são coeficientes reais, então v2 + w2 é igual a:

a) a² - 2b 

b) a² + 2b

c) a² - 2b²

d) a² + 2b²

e) a² - b²

42) Segundo previsões de um jornal  econômico, o PIB anual de um país( Y) ,em bilhões de dólares, daqui a ‘x’ anos poderá ser calculado pela função y = 4/5, x² – 8x + 80. Para quais valores de ‘x’ o PIB anual desse país ultrapassará 140 bilhões de dólares?

43) O produto das raízes da equação 8x2 – 9x + c = 0  é igual a a 3/4. Calcular o valor do coeficiente c.

44) Multiplique o quadrado de um ´número real inteiro por 3 . O resultado é igual ao quíntuplo do mesmo número aumentado de  2 unidades. Qual é esse número?

45) Calcule um número inteiro e positivo tal que seu quadrado menos o dobro desse número seja igual a 48.

Exercícios resolvidos sobre equações do 2º grau 

1) Resolva a seguinte equação fracionária do 2º grau.

Solução:

2) Determine quais os valores de k para que a equação 2x² + 4x + 5k = 0 tenha raízes reais e distintas

Solução:


3) Aplicando a fórmula de Bhaskara, resolva as seguintes equações do 2º grau.

a) 3x² – 7x + 4 = 0

b) 9y² – 12y + 4 = 0

c) 5x² + 3x + 5 = 0

Solução:

4) O produto da idade de Pedro pela idade de Paulo é igual a 374. Pedro é 5 anos mais velho que Paulo. Quantos anos tem cada um deles?

Solução:

Se chamarmos de x a idade de Pedro, teremos que x - 5 será a idade de Paulo. Como o produto das idades é igual a 374, temos que x . (x - 5) = 374.

Esta sentença matemática também pode ser expressa como:

Primeiramente para obtermos a idade de Pedro, vamos solucionar a equação:

As raízes reais encontradas são -17 e 22, por ser negativa, a raiz -17 deve ser descartada. Logo a idade de Pedro é de 22 anos.

Como Pedro é 5 anos mais velho que Paulo, Paulo tem então 17 anos. Logo:

Pedro tem 22 anos e Paulo tem 17 anos.

5) Uma tela retangular com área de 9600 cm² tem de largura uma vez e meia a sua altura. Quais são as dimensões desta tela?

Solução:

Se chamarmos de x altura da tela, temos que 1,5x será a sua largura. Sabemos que a área de uma figura geométrica retangular é calculada multiplicando-se a medida da sua largura, pela medida da sua altura. Escrevendo o enunciado na forma de uma sentença matemática temos:

x . 1,5x = 9600

Que pode ser expressa como:

1,5x² - 9600 = 0

Note que temos uma equação do 2° grau incompleta, que como já vimos terá duas raízes reais opostas, situação que ocorre sempre que o coeficiente b é igual a zero. Vamos aos cálculos:

As raízes reais encontradas são -80 e 80, no entanto como uma tela não pode ter dimensões negativas, devemos desconsiderar a raiz -80.

Como 1,5x representa a largura da tela, temos então que ela será de 1,5 . 80 = 120. Portanto:

Esta tela tem as dimensões de 80cm de altura, por 120cm de largura.

6) O dobro do quadrado da nota final de Pedrinho é zero. Qual é a sua nota final?

Solução:

Sendo x a nota final, matematicamente temos:

2x² = 0

Podemos identificar esta sentença matemática como sendo uma equação do segundo grau incompleta, cujos coeficientes b e c são iguais a zero.

Conforme já estudamos este tipo de equação sempre terá como raiz real o número zero. Apenas para verificação vejamos:

7) (ENEM-2009) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros.

Considerando x  o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é

a) V=10.000+50x−x2.
b) V=10.000+50x+x2.
c) V=15.000−50x−x2.
d) V=15.000+50x−x2.
e) V=15.000−50x+x2.

Solução:

Sendo x o desconto, em centavos, e V o valor, em reais, arrecadado por dia com a venda do álcool, temos que V = [ preço (em reais) ] x [ volume de álcool vendido (em litros)

V=(1,50−x100)(10000+100x)

Simplificando:

V=(150−x)(100+x)=15000+50x−x2

∴V=15000+50x−x2

8) A soma dos quadrados de dois números positivos e consecutivos é 25 . Calcular esses números 

Solução :

= Numero procurado: x e x + 1

=  x²  + (x + 1)² = 25

= Resolução: x²  + x² + 2x  + 1 = 25 = 0

= Resolução: 2 x² + 2x – 24 = 0

∆= b² - 4ac

∆= 2²- 4 . 2 .(-24)

∆ = 4 + 192

∆= 196

x = -2 +- √196 / 2 . 2

X = (-2  +- 14) / 4

X’ = 12/4 = 5

X” = -16/4 = -4

Observe:  que -4 não serve como resposta, pois, pelo enunciado do problema os números devem ser positivos

Gabarito:

1) 2 e 3    2) 2 e 6  3) 3 e -4  4) vazio  5) 2   6) -1 e 5  7) -3 e 4  8) 1 e 5  9) 1/ e -1/2  10) 2 e 1/3 

11) 5 e -1/3  12) 3/2  13) -3 e 4  14) -3  15) vazio  16) 2/5  17) 3 e -5  18) -1 e -2  19) -4 e 3 

20) 1  21) -3  22) 1 e 4  23) 5 e -8  24) 2 e -3  25) 3 e 4  26) -1 e -4   27) vazio  28) 3 e 15

29) -6 e 5   30) 3   31) C  32) a) -7 e 7  b) 1 e -1  c) 5 e -5  d) 1 e -1  e)  √3 e -√3  f)  √3 e -√3  g) vazio  h) 2 e -2  i) 7 e -7  j) 3 e -3  k) 2 e -2  l) 3 e -3  m) 3 e -3  n) 3 e -3  o) 2 e -2  p) 3 e -3  q) 7/2 e -7/2    r) 4/3 e -4/3  s) vazio t) √5/3 , -√5/3   33) C  34) A  35) A   36) 11/2  37) 1 

38) 2x² - 7x + 3 = 0   39) 0   40) A  41) A  42) x > 15  43) c = 6  44) 2  45) 8