Progressão aritmética (P.A)
Denomina-se progressão aritmética (PA) a seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da progressão aritmética.
A seqüência (2,7,12,17) é uma progressão aritmética finita de razão 5 pois:
a1 = 2
a2 = 2+5 = 7
a3 = 7 +5 = 12
a4 = 12 + 5= 17
a3 = 7 +5 = 12
a4 = 12 + 5= 17
As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r.
Se r > 0, então a PA é crescente.
Se r = 0, então a PA é constante.
Se r < 0, a PA é decrescente
Termo Geral de uma progressão aritmética P.A: fórmula e exemplos
a1 = a1
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
O termo an geral de uma PA é dado, portanto, pela fórmula:
an = a1 + (n – 1) * r
Exemplo 1
Sabendo que o 1º termo de uma PA é igual a 2 e que a razão equivale a 5, determine o valor do 18º termo dessa sequência numérica.
a18 = 2 + (18 – 1) * 5
a18 = 2 + 17 * 5
a18 = 2 + 85
a18 = 87
a18 = 2 + 17 * 5
a18 = 2 + 85
a18 = 87
O 18º termo da PA em questão é igual a 87.
Exemplo 2:
Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ?
Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n.
Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ;
logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n ,
de onde vem n = 40.
Portanto, a PA possui 40 termos.
Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ;
logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n ,
de onde vem n = 40.
Portanto, a PA possui 40 termos.
Soma dos termos de uma progressão aritmética: fórmula e exemplos
Em algumas situações ocorre a necessidade de determinar o somatório dos termos de uma progressão aritmética. Nesses casos a expressão matemática 
determina a soma dos termos de uma PA.
determina a soma dos termos de uma PA.
Exemplo 1
Na sequência numérica (–1, 3, 7, 11, 15, ...), determine a soma dos 20 primeiros termos.
Cálculo da razão da PA
3 – (–1) = 3 + 1 = 4
7 – 3 = 4
11 – 7 = 4
15 – 11 = 4
7 – 3 = 4
11 – 7 = 4
15 – 11 = 4
Determinando o 20º termo da PA
a20 = –1 + (20 – 1) * 4
a20 = – 1 + 19 * 4
a20 = – 1 + 76
a20 = 75
a20 = – 1 + 19 * 4
a20 = – 1 + 76
a20 = 75
Soma dos termos
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A soma dos 20 primeiros termos da PA (–1, 3, 7, 11, 15, ...) equivale a 740.
Exemplo 2:
Determine uma P.A sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que a 8 = 79.
Retirando os dados:
n = 8
Sn = 324
a 8 = 79
Sn = (a1 + an) . n
324 = (a1 + 79) . 8
2
324 . 2 = 8 a1 + 79 . 8
648 = 8 a1 + 632
16 = 8 a1
a1 = 2
Precisamos encontrar o valor de r (razão) para encontrar o valor dos outros elementos.
a n = a1 + (n – 1) . r
79 = 2 + (8 – 1) . r
79 = 2 + 7 . r
79 – 2 = 7r
77 = r
7
r = 11
Determine uma P.A sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que a 8 = 79.
Retirando os dados:
n = 8
Sn = 324
a 8 = 79
Sn = (a1 + an) . n
324 = (a1 + 79) . 8
2
324 . 2 = 8 a1 + 79 . 8
648 = 8 a1 + 632
16 = 8 a1
a1 = 2
Precisamos encontrar o valor de r (razão) para encontrar o valor dos outros elementos.
a n = a1 + (n – 1) . r
79 = 2 + (8 – 1) . r
79 = 2 + 7 . r
79 – 2 = 7r
77 = r
7
r = 11
Propriedades das Progressões Aritméticas (P.A)
Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste.
Exemplo:
PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2
Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo:
Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a PA é do tipo:
(x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.
Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a PA é do tipo:
(x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.
Numa PA, a soma dos termos equidistantes dos extremos é constante.
Exemplo:
PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r
Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.
(2, 6, 10, 14, 18); portanto, 2 + 18 = 6 + 14 = 10 + 10 = 20
Questões resolvidas sobre progressão aritmética (P.A)
a) 64376
b) 12846
c) 21286
d) 112
e) 61376
SOLUÇÃO:
Números com 3 algarismos: de 100 a 999.
Primeiro múltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que é igual a 8x13)
Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a 8x124)
Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992).
Da fórmula do termo geral an = a1 + (n – 1) . r poderemos escrever:
992 = 104 + (n – 1).8, já que a razão da PA é 8.
Daí vem: n = 112
Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente:
Sn = S112 = (104 + 992).(112/2) = 61376
A alternativa correta é portanto, a letra E.
2) Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.
SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
a3 + a7 = 30
a4 + a9 = 60
Usando a fórmula do termo geral, poderemos escrever:
a1 + 2r + a1 + 6r = 30 ou 2.a1 + 8r = 30
a1 + 3r + a1 + 8r = 60 ou 2.a1 + 11r = 60
Subtraindo membro a membro as duas expressões em negrito, vem:
3r = 30 , de onde concluímos que a razão é igual a r = 10.
Substituindo numa das equações em negrito acima, vem:
2.a1 + 8.10 = 30, de onde tiramos a1 = - 25.
Logo, o centésimo termo será:
a100 = a1 + 99r = - 25 + 99.10 = 965
3) (UFBA) Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.
Resp: 60
SOLUÇÃO:
Teremos que:
0 hora o relógio baterá 12 vezes. (Você não acha que bateria 0 vezes, não é?).
1 hora o relógio baterá 1 vez
2 horas o relógio baterá 2 vezes
3 horas o relógio baterá 3 vezes
....................................................
....................................................
12 horas o relógio baterá 12 vezes.
Logo, teremos a seguinte sequência:
(12, 1, 2, 3, 4, 5, ... , 12)
A partir do segundo termo da sequência acima, temos uma PA de 12 termos, cujo primeiro termo é igual a 1, a razão é 1 e o último termo é 12.
Portanto, a soma dos termos desta PA será:
S = (1 + 12).(12/2) = 13.6 = 78
A soma procurada será igual ao resultado anterior (a PA em vermelho acima) mais as 12 batidas da zero hora. Logo, o número x será igual a x = 78 + 12 = 90.
Logo, o dobro da terça parte de x será: 2. (90/3) = 2.30 = 60, que é a resposta do problema proposto.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Solução:
dados do problema:
a1=112 an=250 r=23
Devemos utilizar a fórmula do termo geral de uma PA:
Aqui que o bicho pega, meu amigo. A alternativa "E" tá te esperando, pedindo pra tu marcá-la.
7 não é a resposta, é o número total de termos.
Devemos retirar desta contagem os termos 112 e 250, pois é pedido quantos termos devem ser inseridos "ENTRE" estes dois.
Portanto, se no total temos 7 termos, excluindo dois da contagem, temos 5 termos para inserir entre o 112 e o 250.
A resposta certa: Letra "C".
5) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=n2+2n. O valor do 13o termo desta PA é:
(A) 195
(B) 190
(C) 27
(D) 26
(E) 25
Solução:
Este tipo de questão é clássica, pois tem um pega ratão horrível. Então, vamos esmigalhar ao máximo. Te liga só!
Para calcularmos o 13º termo desta PA, devemos saber o valor do primeiro termo (a1) e o valor da razão, para isso vamos entender o que ele quis dizer com a fórmula dada.
À primeira vista você pode achar que se substituirmos "n" por 13 teremos o valor do 13o termo. Aí está o pega ratão, substitua e veja a resposta da letra "A" (pega ratão).
O que devemos fazer é substituir primeiro "n" por 1, isso dá
S1=12+2.(1)
S1=3
Como S1 significa a soma de todos os termos até a1, ou seja, como não tem nenhum antes de a1 é o próprio valor dele (a1=3)
Se substituirmos "n" por 2, temos:
S2=22+2.(2)
S2=8
Agora tem que se ligar. S2 significa a soma de todos os termos até a2, então é igual à a1+a2. Como já sabemos o valor de a1, logo:
S2=a1+a2=8
3+a2=8
a2=5
Se a1=3 e a2=5 a razão só pode ser 2. Agora podemos achar o 13º termo, é só substituir na fórmula do termo geral:
an=a1+(n-1)r
a13=3+(13-1)2
a13=3+24
a13=27 Resposta certa: Letra "C"
6) Se somarmos do quinto ao décimo-nono termo de uma P.A., quanto dará esta soma sabendo-se que o quinto termo é igual a 32 e o décimo-nono é igual a 81?
Solução:
Na resolução deste problema utilizaremos a seguinte fórmula:
Temos os seguintes dados:
Substituindo estes dados na fórmula acima temos:
Portanto:
A soma do quinto ao décimo-nono termo desta P.A. é igual a 847,5.
7) Uma sucessão de números igualmente distantes um após o outro, tem como décimo e vigésimo termos, respectivamente os números 43 e 83. Qual é o trigésimo termo desta sucessão?
Solução:
Vamos utilizar a fórmula abaixo na resolução do problema:
Temos os seguintes dados:
Substituindo-os na fórmula temos:
Agora que conhecemos a razão da sucessão, podemos partir do termo a20, poderia ser o termo a10 se assim quiséssemos, para encontrarmos o termo a30:
Assim sendo:
O trigésimo termo desta sucessão é igual a 123.
8) A soma dos termos da P.A.(5+x, 10+x, 15+x, ..., 100+x) é igual a 1110. Qual é valor de x?
Solução:
Primeiramente iremos calcular a razão da progressão aritmética:
Agora temos como calcular o seu número de termos:
Finalmente iremos calcular o valor de x:
Portanto:
O valor de x é 3.
9) (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:
a) [– 2, –1] b) [– 1, 0] c) [0, 1] d) [1, 2] e) [2, 3]
Solução:
Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação da definição de PA):
(1) -5n = 2 + 3n + r
(2) 1 – 4n = -5n + r
Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):
(1) => r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2
(2) => 1 – 4n = -5n – 8n – 2 => 1 – 4n = -13n – 2
=> 13n – 4n = -2 – 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3
Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b).
10) (PUC-SP/2003) Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então a30 + a55 é igual a:
a) 58
b) 59
c) 60
d) 61
e) 62
b) 59
c) 60
d) 61
e) 62
Solução:
Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 – (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 – (8; 9; 10; 11; …) . Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato:
(1) ai = a1 + (i – 1).1 = a1 + i – 1
Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está intrinsicamente relacionada às duas progressões da seguinte forma:
- Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i – 1, ou seja, i = (n + 1)/2;
- se n é par temos n = 2i ou i = n/2.
Daqui e de (1) obtemos que:
an = 10 + [(n + 1)/2] – 1 se n é ímpar
an = 8 + (n/2) – 1 se n é par
Logo:
a30 = 8 + (30/2) – 1 = 8 + 15 – 1 = 22
e
a55 = 10 + [(55 + 1)/2] – 1 = 37
E portanto:
a30 + a55 = 22 + 37 = 59
11) (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale:
a) 3,0
b) 1,0
c) 1,5
d) -1,5
e) -3,0
b) 1,0
c) 1,5
d) -1,5
e) -3,0
Solução:
Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA:
S20 = 20( a1 + a20)/2 = -15
Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equidistantes dos extremos, uma vez que:
15 + 6 = 20 + 1 = 21
E, portanto:
a6 + a15 = a1 + a20
Substituindo este valor na primeira igualdade vem:
20(a6 + a15)/2 = -15 => 10(a6 + a15) = -15
=> a6 + a15 = -15/10 = -1,5
12) Sendo Sn a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a1 = 6, determinen tal que Sn é igual a 1456.
Solução:
Sabemos que:
(1) Sn = (a1 + an)n/2 = (6 + an)n/2 = 1456 => (6 + an)n = 2912
Para determinar n basta expressarmos an em função de n, o que é feito através da fórmula do termo geral de uma PA:
(2) an = 6 + (n – 1).4 = 6 + 4n – 4 = 4n + 2
Substituindo (2) em (1):
(6 + 4n + 2)n = 2912 => 4n2 + 8n – 2912 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau obtemos:
n1 = 26 e n2 = -28
Como n > 0, a resposta é 26.
13) A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por Sn = 3n2 + 5n. A razão dessa progressão aritmética é:
Solução:
Inicialmente atribuímos ao n os valores 1 e 2:
Logo, a P. A. será ( 8, 14, 20, 26 , .........)
A razão será igual a 6.
14) (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:
(A) 8a
(B) 7a
(C) 6a
(D) 5a
(E) 4a
Solução:
- informações do problema:
a1 = 23 r = -6 an = -13 n=?
- Substituindo na fórmula do termo geral:
an = a1 + (n-1)r
-13 = 23 + (n - 1).(-6)
-13 - 23 = -6n + 6
-36 - 6 = -6n
-42 = -6n Vamos multiplicar os dois lados por (-1)
6n = 42
n = 42/6
n = 7 Resposta certa letra "B.
14) (UCS) O valor de x para que a seqüência (2x, x+1, 3x) seja uma PA é:
(A) 1/2
(B) 2/3
(C) 3
(D) 1/2
(E) 2
Solução:
- Informações:
a1= 2x
a2= x+1
a3= 3x
- Neste exercício devemos utilizar a propriedade de uma PA qualquer. Sabemos que o termo da frente é igual ao termo de trás mais a razão. Ou seja:
a2 = a1 + r isolando "r" r = a2 - a1
a3 = a2 + r isolando "r" r = a3 - a2
- Como temos "r" igualado nas duas equações, podes igualar uma a outra, ou seja:
a2 - a1 = a3 - a2
- Agora, substituindo pelos valores dados no enunciado:
(x + 1) - (2x) = (3x) - (x + 1)
x + 1 - 2x = 3x - x - 1
x - 2x - 3x + x= -1 - 1
-3x = -2 Multiplicando ambos os lados por (-1)
3x = 2
x = 2/3 Resposta certa letra "B"
16) (PUC) A quantidade de meios aritméticos que se devem interpolar entre -a e 20a, a fim de se obter uma PA de razão 7, é
(A) 3a-2
(B) 3a-1
(C) 3a
(D) 3a+1
(E) 3a+2
Solução:
- Informações:
a1=-a an=20a r=7
- Vamos utilizar a fórmula do termo geral:
Agora não caia no pega-ratão, acabamos de calcular o número de termos que deve ter a progressão. O exercício pede quantos devem ser INSERIDOS entre -a e 20a, portanto devemos diminuir duas unidades:
3a+1-2
3a-1 Resposta certa letra "B".
Excelente, amigo!!!
ResponderExcluirDicas e didática sem igual...um grande abraço!