Função Logaritmica

A função logarítmica pode ser de  é inversa da função exponencial de  e vice-versa, pois:

y = log_b x ⇔ b^y = x

Assim, log_b x é o expoente ao qual se deve elevar a base b para se obter o número x.

Gráfico da função Logarítmica

As funções logarítmicas podem ser classificadas como função crescente ou função decrescente.

Função crescente

 

Crescente: base maior que 1 seja qual for o valor real positivo de x. No gráfico da função acima podemos observar que à medida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y.

Podemos observar também através do gráfico, que para dois valor de x (x₁ e x₂), que , isto para x₁, x₂ e a números reais positivos, com a > 1.

Função decrescente

Decrescente: base maior que zero e menor que 1.para todo o domínio da função. 

No gráfico acima, Podemos observar que à medida que x aumenta, y diminui como também,  que para dois valores de x (x₁e x₂), que , isto para x₁,x₂ e a números reais positivos, com 0 < a < 1.

A figura abaixo mostra o gráfico da função logarítmica natural f(x) = ln x.

Observe que:

Se x > 0, então ln x é o expoente ao qual deve se elevar a base e para se obter o valor de x.

A definição de função logarítmica mostra que a função logarítmica natural  f(x) = ln x e a função exponencial natural g(x) = ex são funções inversas uma da outra. Isso significa que seus gráficos são reflexões um do outro em relação à reta y = x.

O domínio da função logarítmica natural y = f(x) = ln x é o conjunto dos números reais positivos, ou seja, o valor de y só pode ser calculado para valores de x > 0.

Como as funções f(x) = ln x e g(x) = ex são inversas uma da outra, então o domínio de f(x) = ln x é igual a imagem de g(x) = ex e a imagem de  f(x) = ln x é igual ao domínio de g(x) = ex.

Exercício Resolvido Função Logarítmica 

1) Que relação existe entre o gráfico de y=ln x e y=log x, sabendo que log x representa o logaritmo de x na base 10?

Reolução:

De uma das propriedades dos logaritmos, temos que:

Dessa forma, o gráfico de y=log x é o resultado de uma mudança de inclinação, provocada pelo fator , do gráfico de y=ln x .

Como

2<e<3

temos

4<e²<9 que, por sua vez, é menor que 10, ou seja, 4<e²<10.

Como a função ln é estritamente crescente, temos:

e daí,

que tomando os inversos, nos permite dizer que:

de onde concluímos que

Logo, o gráfico de g(x)=log x é o resultado de uma mudança de inclinação, provocada por um fator menor que 1, no gráfico de f(x)=ln x.