questões resolvidas determinantes

questões resolvidas determinantes

01. (Unicamp - SP) Seja a um número real e seja:

a) Para a=1, encontre todas as raízes da equação p(x)=0

b) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x)=0 tem uma única raiz real.

Resolução:

a) Façamos o determinante com o valor de a = 1:

Temos o produto de duas parcelas igual a zero, então teremos duas situações:

3 - x = 0    ou    (1 - x) ² + 4 = 0

Na primeira temos que x = 3; na segunda não é possível determinar uma solução.

Logo, temos apenas uma raiz possível quando a for igual a 1.

 b)

Novamente teremos duas situações: uma onde x=3 e a outra temos que determinar para quais valores de a teremos apenas a solução x = 3:

Para que só exista uma única raiz, essa equação do segundo grau não deve ter raiz, ou seja, seu discriminante deve ser menor que zero.

02. (TFC SFC 2001) Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo menos uma solução, e é chamado de “determinado” quando a solução for única e de “indeterminado” quando houver infinitas soluções. A partir do sistema formado pelas equações, X - Y = 2 e 2X + WY = Z, pode-se afirmar que se W = -2 e Z = 4, então o sistema é: 

a) impossível e determinado 

b) impossível ou determinado 

c) impossível e indeterminado 

d) possível e determinado 

e) possível e indeterminado

O enunciado fornece duas equações: 1ª) X – Y = 2 2ª) 2X + WY = Z

Se substituirmos os valores de W=-2 e de Z=4 na segunda equação, obteremos: 2ª) 2X – 2Y = 4

O sistema linear formado pelas duas equações é o seguinte:

Passemos a construir a matriz de x, de y e a matriz incompleta, e também calcular os seus determinantes.

12 Æ determinante = 2 x (-2) – 4 x (-1) = 0

21 Æ determinante = 1 x 4 – 2 x 2 = 0

x =	determinante da matriz de x___ = 0 = infinitos valores (indeterminado)
determinante da matriz incompleta	0
y =	determinante da matriz de y___ = 0 = infinitos valores (indeterminado)
determinante da matriz incompleta	0

Obtidos os determinantes, já temos condições de obter os valores das incógnitas:

Resposta: existem infinitos pares (x,y) que são soluções! Æ Sistema Possível e Indeterminado.

 

       a) duas linhas proporcionais;

       b) duas colunas proporcionais;

       c) elementos negativos;

       d) uma fila combinação linear das outras duas filas paralelas;     

       e) duas filas paralelas iguais.                                     

05 .(UESP) Se o determinante da matriz  é igual a -18, então o determinante da matriz  é igual a: 

a) -9                          b) -6                        c) 3                        d) 6                         e) 9

06. Sabe-se que Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F, com A, B, C, D, E e F reais, fatora-se, no conjunto dos reais, em dois fatores de primeiro grau em x e y se, e somente se, B² - AC = 0 e o determinante da matriz, representada a seguir, for nulo. (imagem abaixo) 
Com base nessas informações, DETERMINE m para que o polinômio x² + 2mxy - y² + x + y seja um produto de dois fatores de primeiro grau em x e y.

07. (Unicap - PE) Calcule o valor de x, a fim de que o determinante da matriz A seja nulo.

08. Seja a matriz quadrada M de ordem 3 cada elemento aij = i + j. O cofator do elemento a32  é :

a) -2                          b) 0                               c) 2                             d) 5                             e) 7

09. A é uma matriz quadrada de ordem 2, inversível, e det (A) o seu determinante. Se det (2A) = det (A*A), então det(A) será igual a:

a) 0              b) 1                  c) 1/2                   d) 4                  e) 16

10. (FGVRJ-03) A organização econômica Merco é formada pelos países 1, 2 e 3. O volume anual de negócios realizados entre os três parceiros é representado em uma matriz A, com 3 linhas e 3 colunas, na qual o elemento da linha i e coluna j informa quanto o país i exportou para o país j, em bilhões de dólares.

então o país que mais exportou e o que mais importou no Merco foram, respectivamente:

a) 1 e 1      b) 2 e 2      c) 2 e 3       d) 3 e 1       e) 3 e 2

11) Calcule o determinante:

Solução: 

Observe que a 2ª coluna é composta por zeros; FILA NULA Þ DETERMINANTE NULO , conforme propriedade P3 acima. Logo, D = 0.

12) (Unicap - PE) Calcule o valor de x, a fim de que o determinante da matriz A seja nulo.

Aplicando a regra de Sarrus, temos que o determinante será da seguinte forma.

13) O determinante da matriz A é igual a -2. Se B e C são as matrizes obtidas, respectivamente, pela substituição em A do menor e do maior valor de y encontrados, calcule a matriz transposta do produto de B por C. 

solução:

• 
  Façamos as matrizes B e C.
  
  
  
  
• Gabarito:
• 3) B  4) D  5) E  6) m = 0  7) x = 13  8) B  9) D  10) C