Exercícios resolvidos área do triângulo retângulo e equilátero

Exercícios resolvidos sobre área do triângulo retângulo e equilátero

1) Determinar a área do triângulo a seguir considerando que a sua base mede 23 metros e a altura 12 metros.

2) Calcule a área do triângulo a seguir: 

p = (9 + 7 + 14) / 2
p = 30 / 2
p = 15

A = √15(15 – 9)(15 – 7)(15 – 14)
A = √15 * 6 * 8 * 1
A = √720
A = 26,83 cm2(aproximadamente)

3) Um triângulo possui lados medindo 5 cm e 8 cm, respectivamente. Sabendo que ele possui um ângulo na base medindo 30º, determine a área desse triângulo.

4) Calcule a área da região triangular a seguir sabendo que os lados medem: 40, 31 e 52.

Temos que o triângulo em questão possui área de 618,9 m².

área do Triângulo equilátero

Se o triângulo for equilátero de lado l, sua área A pode ser obtida com:

Ou então usando sua altura h e a fórmula da base vezes a altura. A altura h de um triângulo equilátero é:

Vale notar que essas duas fórmulas para os triângulos equiláteros são obtidas usando as funções seno ou cosseno e usando a altura do triângulo, que o divide ao meio em dois triângulos retângulos iguais.

5) Um triângulo equilátero possui área de 16√3 cm². Determine a medida do lado desse triângulo.

Solução:

Temos que A = 16√3 cm². Logo,



6) Determine a medida da altura de um triângulo equilátero de área 25√3 cm².

Solução:



Podemos determinar a altura do triângulo equilátero se as medidas de seus lados forem conhecidas. Assim, vamos encontrar a medida do lado utilizando a área que foi dada pelo exercício.

área do círculo questões e resumo

área do círculo 

A divisão do perímetro de uma circunferência, pelo seu diâmetro resultará sempre no mesmo valor, qualquer que seja circunferência. Este valor irracional constante é representado pela letra grega minúscula pi, grafada como:



Por ser um número irracional, o número pi possui infinitas casas decimais. Para cálculos corriqueiros, podemos utilizar o valor 3,14159265. Para cálculos com menos precisão, podemos utilizar 3,1416, ou até mesmo 3,14.

O perímetro de uma circunferência é obtido através da fórmula: 



O cálculo da área do círculo é realizado segundo a fórmula abaixo:



Onde r representa o raio do círculo.

questões de fixação

1) Calcule a área de um círculo de raio 3 cm.

S   =    . 3²

S  = 9 cm²

2) A lente de uma lupa tem 10 cm de diâmetro. Qual é a área da lente desta lupa?

Como informado no enunciado, o diâmetro da circunferência da lupa é igual a 10 cm, o que nos leva a concluir que o seu raio é igual a 5 cm, que corresponde à metade deste valor:

Substituindo-o na fórmula:

A área da lente da lupa é de 78,54 cm2.

3) Um círculo tem raio de 8,52 mm. Quantos milímetros quadrados ele possui de superfície?

Do enunciado, temos que o valor do raio r é:

Ao substituirmos valor de r na fórmula teremos:

A superfície do círculo é de 228,05 mm².

4)  razão entre as áreas de dois círculos é 3:1. Qual é a área do círculo menor se a a área do círculo maior é 27 π cm².

Resposta: S = 3 cm²

5) Uma roda gigante tem 8 metros de raio. Quanto percorrerá uma pessoa na roda gigante em 6 voltas?

Resposta: 96 π m

questões de vestibular logaritmos

Questões de vestibular sobre Logaritmos

1) (UCSal) Se 12ⁿ⁺¹ = 3ⁿ⁺¹ . 8 , então log₂ n é igual a:

   
   a) –2                   b) –1                c) ½                 d) 1                     e) 2

2)  Calcule o valor de Log₂⁵ + log₂⁶ – log₂¹⁰.        
  R: log₂³

3) (PUC-SP) Se log a + log b = p, então log 1/a + log1/b vale:        
R: -p

4) O produto das raízes da equação log(x² -8x + 12) = log₂ 2⁰ é:

    01) 5        02) 7           03) 14         04) -14           05) 35

    

5) (Fuvest) Seja x > 0 tal que a sequência a₁ = log₂(x), a₂ = log₄ (4x), a₃ = log₈ (8x) forme, nessa ordem, uma progressão aritmética. Então a₁ + a₂ + a₃ é igual a

   a) 13/2               b) 15/2                c) 17/2               d) 19/2                e) 21/2

   6) (CESGRANRIO) Se log10123 = 2,09, o valor de log101,23 é:


   a) 0,0209              b) 0,09             c) 0,209                d) 1,09                   e) 1,209

  7) Os valores de x que satisfazem log x + log (x - 5) = log 36 são:


   a) 9 e -4                b) 9 e 4              c) -4                  d) 9                 e) 5 e -4

   8) (PUC) Assinale a propriedade válida sempre:

   a) log (a . b) = log a . log b           
   b) log (a + b) = log a + log b
   c) log m . a = m . log a
   d) log am = log m . a
   e) log am = m . log a

(Supor válidas as condições de existências dos logaritmos)

  9) (U. E. LONDRINA) Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é:

  a) o número ao qual se eleva a para se obter b.

  b) o número ao qual se eleva b para se obter a.

  c) a potência de base b e expoente a.

  d) a potência de base a e expoente b.

  e) a potência de base 10 e expoente a.

Teorema de Pitágoras exercícios resolvidos

Exercícios resolvidos sobre Teorema de Pitágoras

1) Sendo a,b e c as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo, indica, justificando, aqueles que são retângulos:


a) a = 6; b = 7 e c = 13;

b) a = 6; b = 10 e c = 8.

solução:

"Se num triângulo as medidas dos seus lados verificarem o Teorema de Pitágoras então pode-se concluir que o triângulo é rectângulo".

Então teremos que verificar para cada alínea se as medidas dos lados dos triângulos satisfazem ou não o Teorema de Pitágoras.


a) 13² = 7² + 6²

    169 = 49 + 36

    169 = 85  Falso

logo o triângulo não é retângulo porque não satisfaz o Teorema de Pitágoras.

b) 10² = 8² + 6² 

    100 = 64 + 36

    100 = 100  Verdadeiro

2) Encontre o tamanho da haste do barco abaixo:

3) Calcule o lado X do triângulo.

Solução:

 

x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
√x² = √2
x = √2 ou 1,41 (√2 = 1,41421356237…)

4) Depois de se ter aplicado algumas situações do Teorema de Pitágoras no plano vamos agora aplicar o mesmo teorema, mas, numa situação do espaço.
    Suponhamos que pretendemos construir em cartolina um chapéu de um palhaço com as medidas indicadas na figura seguinte:

              Qual terá que ser a altura do chapéu?

Solução:

Visto que o diâmetro do cone (a figura geométrica representada por um chapéu de palhaço é um cone) mede 16 cm, o raio, sendo metade do diâmetro, mede 8 cm.

    Encontramo-nos em condições de aplicar o Teorema de Pitágoras:

17²=h²+8²   <=>  h²=17²-8²    <=>  h=Ö 225

    Portanto, h=15 cm, isto é, a altura do chapéu teria que ser 15 cm.

5)Uma escada com 6 metros de comprimento, está encostada a um muro com 4,47 metros de altura, de modo que uma das extremidades da escada encostada à parte de cima do muro.
   Qual a distância da escada ao muro, medida sobre o chão?

 

Solução:

Podemos encarar este problema de uma maneira "matemática ", resumindo-se à determinação da medida P de um dos catetos de um triângulo rectângulo de hipotenusa 6 e em que o outro cateto mede 4,47.

     

4,47cm           6 cm

P = ?

    Aplicando o Teorema de Pitágoras :

        6² =(4,47)² +x².Logo , x² = 16.0191.

    Aplicando a raiz quadrada a x , vem :

        x = 4.0024.

5) (Uflavras 2000) Qual deve ser a altitude do balão para que sua distância ao topo do prédio seja de 10 km?

a) 6 km

b) 6.200 m

c) 11.200 m

d) 4 km

e) 5 km

exercícios resolvidos sobre perímetro de polígonos

Perímetro de Quadrados e Retângulos: 

• Perimetro =  comprimento + largura + comprimento + largura.
• Área = comprimentro x largura.

         Perimetro e Área da Circunferência:

• Perimetro = Pi (3,14) x Raio2 (raio ao quadrado).
• Área = Pi x 2 x Raio2.

          Perímetro e Área do Paralelogramo:

• Perímetro = Lado + Lado + Lado +Lado.
• Área = Base x Altura.

         Perímetro e Área do Triângulo

• Perímetro = (Base x Altura) / 2 (a dividir por 2).
• Área = Lado x Lado x Lado.

Questões sobre perímetro de figuras planas

1) Se o perímetro de um quadrado é de 64 cm, qual é a medida de cada lado desse quadrado?

Solução: 

Sabemos que o quadrado é um quadrilátero com todos os lados congruentes (com a mesma medida). Dessa forma, para determinar a medida de cada lado teremos que dividir o perímetro por 4.
Assim,
L = 64 ÷ 4 = 16 cm

2) Um fazendeiro pretende cercar um terreno retangular de 120 m de comprimento por 90 m de largura. Sabe-se que a cerca terá 5 fios de arame. Quantos metros de arame serão necessários para fazer a cerca? Se o metro de arame custa R$ 15,00, qual será o valor total gasto pelo fazendeiro?

Solução:

 Imagine que a cerca terá somente um fio de arame. O total de arame gasto para contornar todo o terreno será igual à medida do perímetro da figura. Como a cerca terá 5 fios de arame, o total gasto será 5 vezes o valor do perímetro.

Cálculo do perímetro:
2p = 120m + 90m + 120m + 90m = 420 m

Total de arame gasto:
5*420 = 2100 m de arame para fazer a cerca.

Como cada metro de arame custa R$ 15,00, o gasto total com a cerca será de:
2100*15 = R$ 31. 500,00

3) Calcular a área de um triângulo retângulo conhecendo o seu perímetro 2p e a altura h relativa à hipotenusa. 

Resolução:

Sendo o triângulo retângulo de hipotenusa "a", catetos "b" e "c" e altura relativa à hipotenusa "h". Se sabemos seu perímetro:

a + b + c = 2p

 Elevando tudo ao quadrado:

a + b + c = 2p

a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac = 4p²

 Pelo teorema de Pitágoras b² + c² = a², então:

a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac = 4p²

a² + a² + 2ab + 2bc + 2ac = 4p²

 Chamando a área do triângulo de A, que é a base vezes a altura sobre 2:

ah/2 = A

a = 2A/h

 Ou então a área pode ser o produto dos catetos sobre 2:

bc/2 = A

bc = 2A

 Então podemos continuar usando isso:

a² + a² + 2ab + 2bc + 2ac = 4p²

2a² + 2ab + 2bc + 2ac = 4p²

2a² + 2ab + 4A + 2ac = 4p²

2a² + 2a.(b + c) + 4A = 4p²

 E aqui vamos achar que como a + b + c = 2p:

a + b + c = 2p

b + c = 2p - a

 Colocando isso também na equação e no lugar de "a" colocando sempre 2A/h:

2a² + 2a.(b + c) + 4A = 4p²

2a² + 2a.(2p - a) + 4A = 4p²

2(2A/h)² + 2(2A/h).(2p - 2A/h) + 4A = 4p²

4) As diagonais de um losango medem 10cm e 24cm. Determine o perímetro do losango.?
Solução:

Se é um losango as duas diagonais se cruzam no ponto médio de cada uma, dai basta achar a hipotenusa do triangulo formado pela metade desses segmentos

x² = 5² + 12²
x² = 25 + 144
x² = 169
x = raiz(169)
x = 13

logo cada lado do losango vale 13

então o perímetro é igual a:

P =13 x 4 = 52 cm

5) Calcule o perímetro da figura abaixo:

Solução:

2p = 7 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm + 3 cm + 2 cm + 3 cm + 5 cm = 26 cm

6) (ENEM-2011) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços de lazer reivindicam à prefeitura municipal a construção de uma praça. A prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá construí-la em formato retangular devido às características técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça:

• Terreno 1: 55 m por 45 m
• Terreno 2: 55 m por 55 m
• Terreno 3: 60 m por 30 m
• Terreno 4: 70 m por 20 m
• Terreno 5: 95 m por 85 m

Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, os moradores deverão escolher o terreno

• A) 1.
• B) 2.
• C) 3.
• D) 4.
• E) 5.

Exercícios resolvidos sobre potências

Exercícios resolvidos sobre potências

1) Na parte teórica estudamos que:

Então:

Logo:

4^-2 = 1/16.

2)  Calcule 8⁵ - (-5)² + 3¹ + 4⁰ + 2^-1.

Apenas para facilitar a visualização da resolução das potências, vamos calculá-las separadamente da expressão:

Agora montamos novamente a expressão com os resultados obtidos:

Então:

8⁵ - (-5)² + 3¹ + 4⁰ + 2^-1 = 32747,5.

3) Calcule 4³² e (4³)².

No primeiro caso elevamos o 3 ao quadrado, que dá 9 e depois elevamos 4 à nona potência:

Já no segundo caso elevamos o 4 ao cubo, que dá 64 e depois elevamos 64 à segunda potência:

Os cálculos são diferentes porque os parênteses mudam a ordem normal na qual as operações devem ser realizadas.

Logo:

4³² = 262144 e (4³)² = 4096.

4) Podemos resolver este exercício multiplicando índice e expoente, ambos por 3. Isto eliminará as frações e de quebra o radicando:

Uma outra forma de resolução é transformarmos o radicando em uma potência de expoente fracionário:

Logo:

.

5) Inicialmente vamos fatorar 8, 147 e 81:

Você pode utilizar a nossa calculadora para decomposição de um número natural em fatores primos, se estiver com duvidas sobre a fatoração.

Após realizarmos as substituições temos:

Agora segundo a propriedade da raiz de uma potência, em  vamos transformar a raiz de uma potência, na potência de uma raiz, tirando o expoente do radicando para fora do radical:

Em  vamos dividir por 3, tanto o índice quanto os expoentes, para eliminarmos o radical:

Em  vamos fazer algo semelhante, dividindo por 2, tanto o índice quanto o expoente de 7², para também retirarmos o 7 do radical:

Observe que na realidade tomamos um atalho, pois a operação completa para retirarmos o 7 do radicando seria:

Repare que primeiro separamos a multiplicação no radicando em dois radicais e depois realizamos a divisão por 2.

Continuando, vamos simplificar agora o índice e o expoente de , dividindo-os por 4:

Como  e  possuem o mesmo radical, podemos subtrair um do outro:

Agora vamos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por :

Portanto:

.

6) 10) Simplifique o radical .

Para facilitar a explicação vamos iniciar separando os fatores em um radical à parte, todos com o mesmo índice:

No primeiro radical a divisão de 14 por 3 terá como quociente 4 e como resto 2, então o radical simplificado será a base 5 elevada ao quociente 4 multiplicada pela raiz cúbica de 5 elevado ao resto 2:

O segundo radical não iremos simplificar, pois o expoente do radicando é menor que o índice do radical, além de serem primos entre si. Se houvesse um divisor comum maior que 1, iríamos dividi-los por este divisor:

Por fim no último radical, como o expoente é igual ao próprio índice, teremos como fator apenas a base 10:

Substituindo os radicais por suas simplificações temos:

.

7) (USF) Dadas as expressões A = -a² – 2a + 5 e B = b² + 2b + 5:  

a) Se a = 2 e b = -2, então A = B;

b) Se a = 2 e b = 2, então A = B;

c) Se a = -2 e b = -2, então A = B;

d) Se a = -2 e b = 2, então A = B;

e) Se a = -2 e b = 2, então A = B.  

8)  (FUVEST) O valor de (0,2)³ + (0,16)² é:  

a) 0,0264     b) 0,0336           c) 0,1056          d) 0,2568         e) 0,6256 

9)  (FATEC) Das três sentenças abaixo: 

I. 2^x+3 = 2^x . 2³

II. (25)^x = 5^2x

III. 2^x + 3^x = 5^x

a) somente a I é verdadeira;

b) somente a II é verdadeira;

c) somente a III é verdadeira;

d) somente a II é falsa;

e) somente a III é falsa.  

10) (PUC-RIO 2008)

O maior número abaixo é:

a) 3^{31                b)} 8^{10                 c)} 16^{8                 d)} 81^{6            e)} 243⁴